Рассмотрим несколько примеров, как решать простые и сложные алгебраические уравнения, и используя калькулятор уравнений онлайн, получить подробное решение.

Простое алгебраическое уравнение

На простом примере

2*(x - 1/2) = 3/8*(1-x/7)

- линейного алгебраического уравнения долго не будем задерживаться - вы сами можете воспользоваться формой ниже и опробовать:

Простое алгебраическое уравнение

 

Лучше сразу перейдём к более сложным алгебраическим уравнениям.

Сложное алгебраическое уравнение

Рассмотрим пример уравнения с полиномом 4-ой степени:

(x - 2)^4  + 3*(x - 2)^2  - 10 = 0

Для получения подробного решения вбейте данное уравнение в калькулятор:

Алгебраическое уравнение четвёртой степени

И ниже вы увидите подробное решение:

Дано уравнение:
              4             2    
-10 + (-2 + x)  + 3*(-2 + x)  = 0
Сделаем замену
            2
v = (-2 + x)
тогда ур-ние будет таким:
       2          
-10 + v  + 3*v = 0
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
       ___    
     \/ D  - b
v1 = ---------
        2*a   
            ___
     -b - \/ D 
v2 = ----------
        2*a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a = 1
b = 3
c = -10
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(3)^2 - 4 * (1) * (-10) = 49
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
v1 = 2
v2 = -5
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
            2
v = (-2 + x)
то
           ____
x1 = 2 + \/ v1 
           ____
x2 = 2 - \/ v1 
           ____
x3 = 2 + \/ v2 
           ____
x4 = 2 - \/ v2
тогда:
x1 =  
2 ___                
\/ 2              ___
----- + 2 = 2 + \/ 2 
  1                  
x2 =  
 2 ___                 
-\/ 2               ___
------- + 2 = 2 - \/ 2 
   1                   
x3 =  
2 ____                  
\/ -5                ___
------ + 2 = 2 + I*\/ 5 
  1                     
x4 =  
 2 ____                   
-\/ -5                 ___
-------- + 2 = 2 - I*\/ 5 
   1

 

Также можно решать уравнения со степенью 6 (шестой степенью) и другими степенями. Калькулятор алгебраических уравнений вам поможет в этом.

x^6  + 9*x^3  + 8 = 0

Дано уравнение:
     6      3    
8 + x  + 9*x  = 0
Сделаем замену
     3
v = x
тогда ур-ние будет таким:
     2          
8 + v  + 9*v = 0
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
       ___    
     \/ D  - b
v1 = ---------
        2*a   
            ___
     -b - \/ D 
v2 = ----------
        2*a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a = 1
b = 9
c = 8
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(9)^2 - 4 * (1) * (8) = 49
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
v1 = -1
v2 = -8
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
     3
v = x
то
     3 ____
x1 = \/ v1 
     3 ____
x3 = \/ v2
тогда:
x1 =  
3 ____         
\/ -1    3 ____
------ = \/ -1 
  1            
x3 =  
3 ____           
\/ -8      3 ____
------ = 2*\/ -1 
  1

 

Также можно решить алгебраическое уравнение третьей степени (кубическое):

2*x^3 + 4*x - 8*x  = 16

Дано уравнение:
          3      2     
-8*x + 2*x  + 4*x  = 16
преобразуем
   3           2                    
2*x  - 16 + 4*x  - 16 - 8*x + 16 = 0
или
   3      3      2      2               
2*x  - 2*2  + 4*x  - 4*2  - 8*x + 16 = 0
  / 3    3\     / 2    2\                
2*\x  - 2 / + 4*\x  - 2 / - 8*(x - 2) = 0
          / 2          2\                                    
2*(x - 2)*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x - 2)*(x + 2) - 8*(x - 2) = 0
Вынесем общий множитель -2 + x за скобки
получим:
        /  / 2          2\                \    
(x - 2)*\2*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x + 2) - 8/ = 0
или
         /       2      \    
(-2 + x)*\8 + 2*x  + 8*x/ = 0
тогда:
x1 = 2
и также
получаем ур-ние
       2          
8 + 2*x  + 8*x = 0
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
       ___    
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a   
            ___
     -b - \/ D 
x3 = ----------
        2*a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a = 2
b = 8
c = 8
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(8)^2 - 4 * (2) * (8) = 0
Т.к. D = 0, то корень всего один.
x = -b/2a = -8/2/(2)
x2 = -2
Получаем окончательный ответ для -8*x + 2*x^3 + 4*x^2 - 16 = 0:
x1 = 2
x2 = -2