Рассмотрим два примера кубических уравнений, которые калькулятор уравнений умеет без проблем решать с подробным решением:
Пример простого кубического уравнения
Первый пример будет простым:
49*x^3 - x = 0
После того, как вы нажмёте "Решить уравнение!", то вы получите ответ с подробным объяснением:
Дано уравнение:
3
-x + 49*x = 0
преобразуем
Вынесем общий множитель x за скобки
получим:
/ 2\ x*\-1 + 49*x / = 0
тогда:
x1 = 0
и также
получаем ур-ние
2
-1 + 49*x = 0
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a = 49
b = 0
c = -1
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (49) * (-1) = 196
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
x2 = 1/7
x3 = -1/7
Получаем окончательный ответ для -x + 49*x^3 = 0:
x1 = 0
x2 = 1/7
x3 = -1/7
Второй простой пример кубического уравнения будет таким:
8 = (1/2 + 3*x)^3
Получим подробное решение:
Дано уравнение:
3
8 = (1/2 + 3*x)
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
/ 2\
-9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x /
-------------------------------- = 0
8
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
9 9*x - - --- = 0 8 4
2
7 + 12*x + 12*x = 0
решаем получившиеся ур-ния:
1.
9 9*x - - --- = 0 8 4
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
-9*x ---- = -9/8 4
Разделим обе части ур-ния на -9/4
x = -9/8 / (-9/4)
Получим ответ: x1 = 1/2
2.
2
7 + 12*x + 12*x = 0
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a = 12
b = 12
c = 7
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(12)^2 - 4 * (12) * (7) = -192
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
___
1 I*\/ 3
x2 = - - + -------
2 3
___
1 I*\/ 3
x3 = - - - -------
2 3
Тогда, окончательный ответ:
x1 = 1/2
___
1 I*\/ 3
x2 = - - + -------
2 3
___
1 I*\/ 3
x3 = - - - -------
2 3
Пример сложного кубического уравнения
Третьим примером будет более сложный - возвратное кубическое уравнение онлайн.
5*x^3 -8*x^2 - 8*x + 5 = 0
Чтобы решить такое возвратное кубическое уравнение, то введите данное уравнение в калькулятор:
Дано уравнение:
2 3
5 - 8*x - 8*x + 5*x = 0
преобразуем
3 2 5*x + 5 - 8*x + 8 - 8*x - 8 = 0
или
3 3 2 2 5*x - 5*(-1) - 8*x - -8*(-1) - 8*x - 8 = 0
/ 3 3\ / 2 2\ 5*\x - (-1) / - 8*\x - (-1) / - 8*(x + 1) = 0
/ 2 2\
5*(x + 1)*\x - x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0
Вынесем общий множитель 1 + x за скобки
получим:
/ / 2 2\ \
(x + 1)*\5*\x - x + (-1) / - 8*(x - 1) - 8/ = 0
или
/ 2\
(1 + x)*\5 - 13*x + 5*x / = 0
тогда:
x1 = -1
и также
получаем ур-ние
2
5 - 13*x + 5*x = 0
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x2 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x3 = ----------
2*a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a = 5
b = -13
c = 5
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-13)^2 - 4 * (5) * (5) = 69
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
____
13 \/ 69
x2 = -- + ------
10 10
____
13 \/ 69
x3 = -- - ------
10 10
Получаем окончательный ответ для 5 - 8*x - 8*x^2 + 5*x^3 = 0:
x1 = -1
____
13 \/ 69
x2 = -- + ------
10 10
____
13 \/ 69
x3 = -- - ------
10 10