Иррациональные неравенства бывают как простые но так и сложные - и всех их можно решить онлайн и с подробным решением с помощью калькулятора неравенств.
Итак:
- Простые иррациональные неравенства
- Иррациональные неравенства средней сложности
- Сложные иррациональные неравенства
Простые иррациональные неравенства
Будем считать, что простые неравенства будут содержат только одну часть иррациональности. Тогда рассмотрим пример:
2*x >= sqrt(2/3 + x) + 3
Введём это неравенство в форму калькулятора
Тогда, вы получите подробное решение:
Дано неравенство:
_________
2*x >= 3 + \/ 2/3 + x
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
_________
2*x = 3 + \/ 2/3 + x
Решаем:
Дано уравнение
_________
2*x = 3 + \/ 2/3 + x
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
_________ -\/ 2/3 + x = 3 - 2*x
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2
2/3 + x = (3 - 2*x)
2
2/3 + x = 9 - 12*x + 4*x
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
25 2 - -- - 4*x + 13*x = 0 3
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
___
\/ D - b
x1 = ---------
2*a
___
-b - \/ D
x2 = ----------
2*a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a = -4
b = 13
c = -25/3
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(13)^2 - 4 * (-4) * (-25/3) = 107/3
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
_____
13 \/ 321
x1 = -- - -------
8 24
_____
13 \/ 321
x2 = -- + -------
8 24
Т.к.
_________ \/ 2/3 + x = -3 + 2*x
и
_________ \/ 2/3 + x >= 0
то
-3 + 2*x >= 0
или
3/2 <= x
x < oo
_____
13 \/ 321
x2 = -- + -------
8 24
_____
13 \/ 321
x1 = -- + -------
8 24
_____
13 \/ 321
x1 = -- + -------
8 24
Данные корни
_____
13 \/ 321
x1 = -- + -------
8 24
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
x0 <= x1
Возьмём например точку
x0 = -1 + x1
=
_____
13 \/ 321
-- + ------- - 1
8 24
=
_____
5 \/ 321
- + -------
8 24
подставляем в выражение
_________
2*x >= 3 + \/ 2/3 + x
______________________
/ _____ \ / _____
|13 \/ 321 | / 2 13 \/ 321
2*|-- + ------- - 1| >= 3 + / - + -- + ------- - 1
\8 24 / \/ 3 8 24
_____ ______________
5 \/ 321 / _____
- + ------- >= / 31 \/ 321
4 12 3 + / -- + -------
\/ 24 24
но
_____ ______________
5 \/ 321 / _____
- + ------- < / 31 \/ 321
4 12 3 + / -- + -------
\/ 24 24
Тогда
_____
13 \/ 321
x <= -- + -------
8 24
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
_____
13 \/ 321
x >= -- + -------
8 24
_____
/
-------•-------
x1
Средние иррациональные неравенства
Средними же будем считать уравнения, которые содержат две иррациональные части в неравенстве.
Например,
sqrt(x - 13) > sqrt(x + 8) - 3
надо ввести в форму в калькуляторе
Результат будет таким:
Дано неравенство:
_________ _______ \/ -13 + x > -3 + \/ 8 + x
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
_________ _______ \/ -13 + x = -3 + \/ 8 + x
Решаем:
Дано уравнение
_________ _______ \/ -13 + x = -3 + \/ 8 + x
преобразуем:
_________ _______ \/ -13 + x - \/ 8 + x = -3
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2
/ _________ _______\
\\/ -13 + x - \/ 8 + x / = 9
или
2 __________________ 2 1 *(x - 13) - 2*\/ (x - 13)*(x + 8) + (-1) *(x + 8) = 9
или
_________________
/ 2
-5 - 2*\/ -104 + x - 5*x + 2*x = 9
преобразуем:
_________________
/ 2
-2*\/ -104 + x - 5*x = 14 - 2*x
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
2 2
-416 - 20*x + 4*x = (14 - 2*x)
2 2
-416 - 20*x + 4*x = 196 - 56*x + 4*x
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
-612 + 36*x = 0
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
36*x = 612
Разделим обе части ур-ния на 36
x = 612 / (36)
Т.к.
_________________ / 2 \/ -104 + x - 5*x = -7 + x
и
_________________ / 2 \/ -104 + x - 5*x >= 0
то
-7 + x >= 0
или
7 <= x
x < oo
x1 = 17
проверяем:
x1 = 17
__________ ________
3 + \/ -13 + x1 - \/ 8 + x1 = 0
=
__________ ________ \/ -13 + 17 + 3 - \/ 8 + 17 = 0
=
0 = 0
- тождество
Тогда, окончательный ответ:
x1 = 17
x1 = 17
x1 = 17
Данные корни
x1 = 17
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
x0 < x1
Возьмём например точку
x0 = -1 + x1
=
16
=
16
подставляем в выражение
_________ _______ \/ -13 + x > -3 + \/ 8 + x
__________ ________ \/ -13 + 16 > -3 + \/ 8 + 16
___ ___ \/ 3 > -3 + 2*\/ 6
Тогда
x < 17
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
x > 17
_____
/
-------ο-------
x1
Сложные иррациональные неравенства
Самыми сложными же будут неравенства с тремя частями иррациональностями, значит будет такой пример:
sqrt(x + 5) - sqrt(x - 1) <= sqrt(2*x + 4)
В форме калькулятора это будет выглядеть так:
