Кусочные функции - это частые "гость" при разложении функций в ряд Фурье.

Приведём пример разложения кусочно-заданной функции в этот ряд.

Допустим, нам дана функция:

 /pi + x  для -pi <= x <= 0 
<                                 
 \pi - x   для 0 < x <= pi

Для того, чтобы разложить её в ряд Фурье, для начала введите её в форму для кусочно-заданных функций:

Вы увидите введённую заданную функцию

$$\begin{cases} x + \pi & \text{for}\: x \geq - \pi \wedge x \leq 0 \\\pi - x & \text{for}\: x \leq \pi \wedge x \gt 0 \end{cases}$$

А также предложение для перехода к разложению в ряд. После того, как вы перейдёте по указанной на той странице ссылке, то увидите результат разложения:

Формула:

$$\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(an \cos{\left(\frac{\pi K x}{l} \right)} + bn \sin{\left(\frac{\pi K x}{l} \right)}\right)$$

$$l = \pi$$

$$a_{0} = \frac{\int_{- \pi}^{\pi} \begin{cases} x + \pi & \text{for}\: x \geq - \pi \wedge x \leq 0 \\\pi - x & \text{for}\: x \leq \pi \wedge x \gt 0 \end{cases}\, dx}{\pi}$$

$$an = \frac{\int_{- \pi}^{\pi} \begin{cases} \left(x + \pi\right) \cos{\left(K x \right)} & \text{for}\: x \geq - \pi \wedge x \leq 0 \\\left(\pi - x\right) \cos{\left(K x \right)} & \text{for}\: x \leq \pi \wedge x \gt 0 \end{cases}\, dx}{\pi}$$

$$bn = \frac{\int_{- \pi}^{\pi} \begin{cases} \left(x + \pi\right) \sin{\left(K x \right)} & \text{for}\: x \geq - \pi \wedge x \leq 0 \\\left(\pi - x\right) \sin{\left(K x \right)} & \text{for}\: x \leq \pi \wedge x \gt 0 \end{cases}\, dx}{\pi}$$

$$K = 1, 2, 3, ..$$

Коэффициент A0:

$$\pi$$

Коэффициент AN:

$$\frac{\begin{cases} - \frac{2 \left(-1\right)^{K}}{K^{2}} + \frac{2}{K^{2}} & \text{for}\: K \neq 0 \\\pi^{2} & \text{otherwise} \end{cases}}{\pi}$$

При K - чётном:

$$\frac{\begin{cases} 0 & \text{for}\: K \neq 0 \\\pi^{2} & \text{otherwise} \end{cases}}{\pi}$$

При K - нечётном:

$$\frac{4}{\pi K^{2}}$$

Коэффициент BN:

0