Дается определение экстремума функции, также приводится пример, как с помощью калькулятор онлайн найти экстремум функции.

Пример

Имеется функция (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).

Введём её в калькулятор по исследованию функций онлайн:

Экстремум функции онлайн

Получим следующий результат:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = Первая производная −2x(x2+1)2(x+x3−ex)+3x2−ex+1x2+1=0- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(x + x^{3} - e^{x}\right) + \frac{3 x^{2} - e^{x} + 1}{x^{2} + 1} = 0 Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния x1=0x_{1} = 0 x2=3.28103090528x_{2} = 3.28103090528 x3=−0.373548376565x_{3} = -0.373548376565 Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках: x3=0x_{3} = 0 Максимумы функции в точках: x3=3.28103090528x_{3} = 3.28103090528 x3=−0.373548376565x_{3} = -0.373548376565 Убывает на промежутках
(-oo, -0.373548376565] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [3.28103090528, oo)

Также можно найти производную этой функции онлайн https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ - приравниваем ее к нулю и находим корни уравнения. Эти корни и будут экстремумами этой функции.
Можно построить график (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) и убедиться, что мы правильно все посчитали

Вообще - зачем нужен экстремум?

В некоторых задачах физики и экономики требуется знать при каких условиях данная величина (функция) имеет максимум или минимум - в помощь и приходит теория экстремума функции

Определение экстремума функции

Экстремумом функции называется такая точка x, при которой производная этой функции равна нулю