7*x+6*y=29 3*x-5*y=20

Вы ввели

7*x + 6*y = 29

$$7 x + 6 y = 29$$

3*x - 5*y = 20

$$3 x - 5 y = 20$$

или

$$\begin{cases}7 x + 6 y = 29\\3 x - 5 y = 20\end{cases}$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$7 x + 6 y = 29$$
$$3 x - 5 y = 20$$

Из 1-го ур-ния выразим y
$$7 x + 6 y = 29$$
Перенесем слагаемое с переменной x из левой части в правую со сменой знака
$$6 y = 29 - 7 x$$
$$6 y = 29 - 7 x$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{6 y}{6} = \frac{29 - 7 x}{6}$$
$$y = \frac{29}{6} - \frac{7 x}{6}$$
Подставим найденное y в 2-е ур-ние
$$3 x - 5 y = 20$$
Получим:
$$3 x - 5 \left(\frac{29}{6} - \frac{7 x}{6}\right) = 20$$
$$\frac{53 x}{6} - \frac{145}{6} = 20$$
Перенесем свободное слагаемое -145/6 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{53 x}{6} = 20 + \frac{145}{6}$$
$$\frac{53 x}{6} = \frac{265}{6}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{\frac{53}{6} x}{\frac{53}{6}} = \frac{265}{6 \frac{53}{6}}$$
$$x = 5$$
Т.к.
$$y = \frac{29}{6} - \frac{7 x}{6}$$
то
$$y = \frac{29}{6} - \frac{35}{6}$$
$$y = -1$$

Ответ:
$$y = -1$$
$$x = 5$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

$$7 x + 6 y = 29$$
$$3 x - 5 y = 20$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 6 y = 29$$
$$3 x - 5 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + 6 x_{2}\\3 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}29\\20\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}7 & 6\\3 & -5\end{matrix}\right] \right)} = -53$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}29 & 6\\20 & -5\end{matrix}\right] \right)}}{53} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}7 & 29\\3 & 20\end{matrix}\right] \right)}}{53} = -1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$7 x + 6 y = 29$$
$$3 x - 5 y = 20$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 6 y = 29$$
$$3 x - 5 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & 6 & 29\\3 & -5 & 20\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & 6 & 29\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{3 \cdot 7}{7} & -5 - \frac{3 \cdot 6}{7} & 20 - \frac{3 \cdot 29}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{53}{7} & \frac{53}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 6 & 29\\0 & - \frac{53}{7} & \frac{53}{7}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\- \frac{53}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{53}{7} & \frac{53}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 - \frac{\left(-42\right) 0}{53} & 6 - - -6 & 29 - \frac{\left(-42\right) 53}{7 \cdot 53}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 35\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 35\\0 & - \frac{53}{7} & \frac{53}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} - 35 = 0$$
$$- \frac{53 x_{2}}{7} - \frac{53}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

y1 = -1.0
x1 = 5.0

График