x-y=7 x+y=3

Вы ввели

x - y = 7

$$x - y = 7$$

x + y = 3

$$x + y = 3$$

или

$$\begin{cases}x - y = 7\\x + y = 3\end{cases}$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x - y = 7$$
$$x + y = 3$$

Из 1-го ур-ния выразим y
$$x - y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной x из левой части в правую со сменой знака
$$- y = 7 - x$$
$$- y = 7 - x$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\left(-1\right) y}{-1} = \frac{7 - x}{-1}$$
$$y = x - 7$$
Подставим найденное y в 2-е ур-ние
$$x + y = 3$$
Получим:
$$x + \left(x - 7\right) = 3$$
$$2 x - 7 = 3$$
Перенесем свободное слагаемое -7 из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = 3 + 7$$
$$2 x = 10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$$
$$x = 5$$
Т.к.
$$y = x - 7$$
то
$$y = -7 + 5$$
$$y = -2$$

Ответ:
$$y = -2$$
$$x = 5$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

Метод Крамера

$$x - y = 7$$
$$x + y = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - y = 7$$
$$x + y = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}7 & -1\\3 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 5$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 7\\1 & 3\end{matrix}\right] \right)}}{2} = -2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x - y = 7$$
$$x + y = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - y = 7$$
$$x + y = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\1 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & 1 - -1 & \left(-1\right) 7 + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\0 & 2 & -4\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & -4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & -1 - \frac{\left(-1\right) 2}{2} & 7 - - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 5\\0 & 2 & -4\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 5 = 0$$
$$2 x_{2} + 4 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$

Численный ответ

y1 = -2.0
x1 = 5.0

График