x-y=3 x+y=1

Вы ввели

x - y = 3

$$x - y = 3$$

x + y = 1

$$x + y = 1$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x - y = 3$$
$$x + y = 1$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x - y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - -1 y + 3$$
$$x = y + 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x + y = 1$$
Получим:
$$y + y + 3 = 1$$
$$2 y + 3 = 1$$
Перенесем свободное слагаемое 3 из левой части в правую со сменой знака
$$2 y = -2$$
$$2 y = -2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{2 y}{2} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = y + 3$$
то
$$x = -1 + 3$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = -1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

$$x - y = 3$$
$$x + y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - y = 3$$
$$x + y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x - y = 3$$
$$x + y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - y = 3$$
$$x + y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 3\\1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 3\\0 & 2 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & -2\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$2 x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

x1 = 2.00000000000000
y1 = -1.00000000000000