x+y=4 x-y=5

Вы ввели

x + y = 4

$$x + y = 4$$

x - y = 5

$$x - y = 5$$

или

$$\begin{cases}x + y = 4\\x - y = 5\end{cases}$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x + y = 4$$
$$x - y = 5$$

Из 1-го ур-ния выразим y
$$x + y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной x из левой части в правую со сменой знака
$$y = 4 - x$$
$$y = 4 - x$$
Подставим найденное y в 2-е ур-ние
$$x - y = 5$$
Получим:
$$x - \left(4 - x\right) = 5$$
$$2 x - 4 = 5$$
Перенесем свободное слагаемое -4 из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = 4 + 5$$
$$2 x = 9$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$$
$$x = \frac{9}{2}$$
Т.к.
$$y = 4 - x$$
то
$$y = 4 - \frac{9}{2}$$
$$y = - \frac{1}{2}$$

Ответ:
$$y = - \frac{1}{2}$$
$$x = \frac{9}{2}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{9}{2}$$
=
$$\frac{9}{2}$$
=

4.5

$$y_{1} = - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
=

-0.5

Метод Крамера

$$x + y = 4$$
$$x - y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 4$$
$$x - y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & 1\\5 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{9}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 4\\1 & 5\end{matrix}\right] \right)}}{2} = - \frac{1}{2}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x + y = 4$$
$$x - y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 4$$
$$x - y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 4\\1 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & \left(-1\right) 4 + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 4\\0 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 4 - - \frac{1}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{9}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{9}{2}\\0 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - \frac{9}{2} = 0$$
$$- 2 x_{2} - 1 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{9}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$

Численный ответ

y1 = -0.5
x1 = 4.5

График