x+y=3 x-y=1

Вы ввели

x + y = 3

$$x + y = 3$$

x - y = 1

$$x - y = 1$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x + y = 3$$
$$x - y = 1$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - y + 3$$
$$x = - y + 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - y = 1$$
Получим:
$$- y + - y + 3 = 1$$
$$- 2 y + 3 = 1$$
Перенесем свободное слагаемое 3 из левой части в правую со сменой знака
$$- 2 y = -2$$
$$- 2 y = -2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-2} \left(-1 \cdot 2 y\right) = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = - y + 3$$
то
$$x = -1 + 3$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Метод Крамера

$$x + y = 3$$
$$x - y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 3$$
$$x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x + y = 3$$
$$x - y = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 3$$
$$x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 3\\1 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 3\\0 & -2 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & -2 & -2\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$- 2 x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

x1 = 2.00000000000000
y1 = 1.00000000000000