x+y=8 x-y=2

Вы ввели

x + y = 8

$$x + y = 8$$

x - y = 2

$$x - y = 2$$

или

$$\begin{cases}x + y = 8\\x - y = 2\end{cases}$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$x + y = 8$$
$$x - y = 2$$

Из 1-го ур-ния выразим y
$$x + y = 8$$
Перенесем слагаемое с переменной x из левой части в правую со сменой знака
$$y = 8 - x$$
$$y = 8 - x$$
Подставим найденное y в 2-е ур-ние
$$x - y = 2$$
Получим:
$$x - \left(8 - x\right) = 2$$
$$2 x - 8 = 2$$
Перенесем свободное слагаемое -8 из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = 2 + 8$$
$$2 x = 10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$$
$$x = 5$$
Т.к.
$$y = 8 - x$$
то
$$y = 8 - 5$$
$$y = 3$$

Ответ:
$$y = 3$$
$$x = 5$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

$$x + y = 8$$
$$x - y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 8$$
$$x - y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}8 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 8\\1 & 2\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 3$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$x + y = 8$$
$$x - y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 8$$
$$x - y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 8\\1 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & \left(-1\right) 8 + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 8\\0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 8 - - -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 5\\0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 5 = 0$$
$$6 - 2 x_{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 3$$

Численный ответ

y1 = 3.0
x1 = 5.0

График