x+y=18 x-y=12

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение системы уравнений 😼

v

Для графика:

: [, ]
: [, ]

Решение

Вы ввели [src]
x + y = 18
x+y=18x + y = 18
x - y = 12
xy=12x - y = 12
или
{x+y=18xy=12\begin{cases}x + y = 18\\x - y = 12\end{cases}
Подробное решение
Дана система ур-ний
x+y=18x + y = 18
xy=12x - y = 12

Из 1-го ур-ния выразим y
x+y=18x + y = 18
Перенесем слагаемое с переменной x из левой части в правую со сменой знака
y=18xy = 18 - x
y=18xy = 18 - x
Подставим найденное y в 2-е ур-ние
xy=12x - y = 12
Получим:
x(18x)=12x - \left(18 - x\right) = 12
2x18=122 x - 18 = 12
Перенесем свободное слагаемое -18 из левой части в правую со сменой знака
2x=12+182 x = 12 + 18
2x=302 x = 30
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
2x2=302\frac{2 x}{2} = \frac{30}{2}
x=15x = 15
Т.к.
y=18xy = 18 - x
то
y=1815y = 18 - 15
y=3y = 3

Ответ:
y=3y = 3
x=15x = 15
Быстрый ответ
x1=15x_{1} = 15
=
1515
=
15

y1=3y_{1} = 3
=
33
=
3
Метод Крамера
x+y=18x + y = 18
xy=12x - y = 12

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
x+y=18x + y = 18
xy=12x - y = 12
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
[x1+x2x1x2]=[1812]\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}18\\12\end{matrix}\right]
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
A=det([1111])=2A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
x1=det([181121])2=15x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}18 & 1\\12 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 15
x2=det([118112])2=3x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 18\\1 & 12\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 3
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
x+y=18x + y = 18
xy=12x - y = 12

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
x+y=18x + y = 18
xy=12x - y = 12
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
[11181112]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 18\\1 & -1 & 12\end{matrix}\right]
В 1 ом столбце
[11]\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
[1118]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 18\end{matrix}\right]
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
[1+111(1)18+12]=[026]\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & \left(-1\right) 18 + 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -6\end{matrix}\right]
получаем
[1118026]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 18\\0 & -2 & -6\end{matrix}\right]
Во 2 ом столбце
[12]\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
[026]\left[\begin{matrix}0 & -2 & -6\end{matrix}\right]
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
[1(1)0211183]=[1015]\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 18 - - -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 15\end{matrix}\right]
получаем
[1015026]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 15\\0 & -2 & -6\end{matrix}\right]

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
x115=0x_{1} - 15 = 0
62x2=06 - 2 x_{2} = 0
Получаем ответ:
x1=15x_{1} = 15
x2=3x_{2} = 3
Численный ответ [src]
y1 = 3.0
x1 = 15.0
График
x+y=18 x-y=12 /media/krcore-image-pods/3/ca/1e497385e22f7681c6c5f922049e2.png