16*x+3*y=-233/4 3*x+16*y+5*z=-72 5*y+18*z-9/2=-61

Вы ввели

16*x + 3*y = -233/4

$$16 x + 3 y = - \frac{233}{4}$$

3*x + 16*y + 5*z = -72

$$5 z + 3 x + 16 y = -72$$

5*y + 18*z - 9/2 = -61

$$5 y + 18 z - \frac{9}{2} = -61$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = - \frac{49117}{16184}$$
=
$$- \frac{49117}{16184}$$
=

-3.03491102323282

$$z_{1} = - \frac{36277}{16184}$$
=
$$- \frac{36277}{16184}$$
=

-2.24153484923381

$$y_{1} = - \frac{26141}{8092}$$
=
$$- \frac{26141}{8092}$$
=

-3.23047454275828

Метод Крамера

$$16 x + 3 y = - \frac{233}{4}$$
$$5 z + 3 x + 16 y = -72$$
$$5 y + 18 z - \frac{9}{2} = -61$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$16 x + 3 y = - \frac{233}{4}$$
$$3 x + 16 y + 5 z = -72$$
$$5 y + 18 z = - \frac{113}{2}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + 16 x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{3} + 3 x_{1} + 16 x_{2}\\18 x_{3} + 0 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{233}{4}\\-72\\- \frac{113}{2}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & 3 & 0\\3 & 16 & 5\\0 & 5 & 18\end{matrix}\right] \right )} = 4046$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{4046} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}- \frac{233}{4} & 3 & 0\\-72 & 16 & 5\\- \frac{113}{2} & 5 & 18\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{49117}{16184}$$
$$x_{2} = \frac{1}{4046} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & - \frac{233}{4} & 0\\3 & -72 & 5\\0 & - \frac{113}{2} & 18\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{26141}{8092}$$
$$x_{3} = \frac{1}{4046} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}16 & 3 & - \frac{233}{4}\\3 & 16 & -72\\0 & 5 & - \frac{113}{2}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{36277}{16184}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$16 x + 3 y = - \frac{233}{4}$$
$$5 z + 3 x + 16 y = -72$$
$$5 y + 18 z - \frac{9}{2} = -61$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$16 x + 3 y = - \frac{233}{4}$$
$$3 x + 16 y + 5 z = -72$$
$$5 y + 18 z = - \frac{113}{2}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}16 & 3 & 0 & - \frac{233}{4}\\3 & 16 & 5 & -72\\0 & 5 & 18 & - \frac{113}{2}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}16\\3\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}16 & 3 & 0 & - \frac{233}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{16} + 16 & 5 & -72 - - \frac{699}{64}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{247}{16} & 5 & - \frac{3909}{64}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 3 & 0 & - \frac{233}{4}\\0 & \frac{247}{16} & 5 & - \frac{3909}{64}\\0 & 5 & 18 & - \frac{113}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\\frac{247}{16}\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}16 & 3 & 0 & - \frac{233}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{247}{3} & - \frac{247}{16} + \frac{247}{16} & 5 & - \frac{3909}{64} - - \frac{57551}{192}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{247}{3} & 0 & 5 & \frac{716}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 3 & 0 & - \frac{233}{4}\\- \frac{247}{3} & 0 & 5 & \frac{716}{3}\\0 & 5 & 18 & - \frac{113}{2}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{80}{3} & 0 & 18 & - \frac{113}{2} - - \frac{1165}{12}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}- \frac{80}{3} & 0 & 18 & \frac{487}{12}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 3 & 0 & - \frac{233}{4}\\- \frac{247}{3} & 0 & 5 & \frac{716}{3}\\- \frac{80}{3} & 0 & 18 & \frac{487}{12}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\5\\18\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}- \frac{247}{3} & 0 & 5 & \frac{716}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{80}{3} - - \frac{1482}{5} & 0 & 0 & - \frac{4296}{5} + \frac{487}{12}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{4046}{15} & 0 & 0 & - \frac{49117}{60}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}16 & 3 & 0 & - \frac{233}{4}\\- \frac{247}{3} & 0 & 5 & \frac{716}{3}\\\frac{4046}{15} & 0 & 0 & - \frac{49117}{60}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}16\\- \frac{247}{3}\\\frac{4046}{15}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{4046}{15} & 0 & 0 & - \frac{49117}{60}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 0 & - \frac{233}{4} - - \frac{98234}{2023}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 0 & - \frac{78423}{8092}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 0 & - \frac{78423}{8092}\\- \frac{247}{3} & 0 & 5 & \frac{716}{3}\\\frac{4046}{15} & 0 & 0 & - \frac{49117}{60}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{247}{3} - - \frac{247}{3} & 0 & 5 & - \frac{12131899}{48552} + \frac{716}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 5 & - \frac{181385}{16184}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 0 & - \frac{78423}{8092}\\0 & 0 & 5 & - \frac{181385}{16184}\\\frac{4046}{15} & 0 & 0 & - \frac{49117}{60}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{2} + \frac{78423}{8092} = 0$$
$$5 x_{3} + \frac{181385}{16184} = 0$$
$$\frac{4046 x_{1}}{15} + \frac{49117}{60} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = - \frac{26141}{8092}$$
$$x_{3} = - \frac{36277}{16184}$$
$$x_{1} = - \frac{49117}{16184}$$

Численный ответ

x1 = -3.034911023232823
y1 = -3.23047454275828
z1 = -2.241534849233811