16z^4+i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 16z^4+i=0

Вы ввели

    4        
16*z  + I = 0

$$16 z^{4} + i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$16 z^{4} + i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = - \frac{i}{16}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{i}{16}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

Быстрый ответ

            ___________          ___________
           /       ___          /       ___ 
          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
         /   - - -----    I*  /   - + ----- 
       \/    2     4        \/    2     4   
z1 = - ---------------- - ------------------
              2                   2         

$$z_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$

          ___________          ___________
         /       ___          /       ___ 
        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
       /   - - -----    I*  /   - + ----- 
     \/    2     4        \/    2     4   
z2 = ---------------- + ------------------
            2                   2         

$$z_{2} = \frac{\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$

            ___________          ___________
           /       ___          /       ___ 
          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
         /   - + -----    I*  /   - - ----- 
       \/    2     4        \/    2     4   
z3 = - ---------------- + ------------------
              2                   2         

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

          ___________          ___________
         /       ___          /       ___ 
        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
       /   - + -----    I*  /   - - ----- 
     \/    2     4        \/    2     4   
z4 = ---------------- - ------------------
            2                   2         

$$z_{4} = \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

Численный ответ

z1 = -0.461939766255643 + 0.191341716182545*i

z2 = 0.191341716182545 + 0.461939766255643*i

z3 = 0.461939766255643 - 0.191341716182545*i

z4 = -0.191341716182545 - 0.461939766255643*i