2cos²x-5cosx-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos²x-5cosx-3=0

Вы ввели

     2                      
2*cos (x) - 5*cos(x) - 3 = 0

$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)} - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)} - 3 = 0$$
преобразуем
$$- 5 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)} - 3\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -5$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (2) * (-3) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 3$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(3 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$

Быстрый ответ

     2*pi
x1 = ----
      3  

$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$

     4*pi
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$

x3 = 2*pi - I*im(acos(3))

$$x_{3} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}$$

x4 = I*im(acos(3)) + re(acos(3))

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    2*pi   4*pi                                                     
0 + ---- + ---- + 2*pi - I*im(acos(3)) + I*im(acos(3)) + re(acos(3))
     3      3                                                       

$$\left(\left(\left(0 + \frac{2 \pi}{3}\right) + \frac{4 \pi}{3}\right) + \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)$$

=

4*pi + re(acos(3))

$$\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + 4 \pi$$

произведение

  2*pi 4*pi                                                     
1*----*----*(2*pi - I*im(acos(3)))*(I*im(acos(3)) + re(acos(3)))
   3    3                                                       

$$\frac{4 \pi}{3} \cdot 1 \cdot \frac{2 \pi}{3} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)$$

=

    2                                                     
8*pi *(2*pi - I*im(acos(3)))*(I*im(acos(3)) + re(acos(3)))
----------------------------------------------------------
                            9                             

$$\frac{8 \pi^{2} \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(3 \right)}\right)}\right)}{9}$$

Численный ответ

x1 = 29.3215314335047

x2 = 27.2271363311115

x3 = 90.0589894029074

x4 = -23.0383461263252

x5 = -58.6430628670095

x6 = -52.3598775598299

x7 = -35.6047167406843

x8 = 10.471975511966

x9 = 2.0943951023932

x10 = 73.3038285837618

x11 = 8.37758040957278

x12 = 96.342174710087

x13 = 77.4926187885482

x14 = 35.6047167406843

x15 = 58.6430628670095

x16 = -67.0206432765823

x17 = -79.5870138909414

x18 = -64.9262481741891

x19 = 67.0206432765823

x20 = 33.5103216382911

x21 = 83.7758040957278

x22 = -20.943951023932

x23 = 23.0383461263252

x24 = 54.4542726622231

x25 = -8.37758040957278

x26 = 20.943951023932

x27 = 4.18879020478639

x28 = -48.1710873550435

x29 = 85.870199198121

x30 = -104.71975511966

x31 = -14.6607657167524

x32 = -16.7551608191456

x33 = -96.342174710087

x34 = 60.7374579694027

x35 = -41.8879020478639

x36 = 41.8879020478639

x37 = -33.5103216382911

x38 = -71.2094334813686

x39 = -586.430628670095

x40 = 98.4365698124802

x41 = 71.2094334813686

x42 = -92.1533845053006

x43 = -54.4542726622231

x44 = -85.870199198121

x45 = -4.18879020478639

x46 = 92.1533845053006

x47 = -98.4365698124802

x48 = 48.1710873550435

x49 = -46.0766922526503

x50 = -39.7935069454707

x51 = -90.0589894029074

x52 = -29.3215314335047

x53 = 52.3598775598299

x54 = -27.2271363311115

x55 = 39.7935069454707

x56 = -10.471975511966

x57 = 46.0766922526503

x58 = -77.4926187885482

x59 = 64.9262481741891

x60 = -83.7758040957278

x61 = 14.6607657167524

x62 = 79.5870138909414

x63 = -2.0943951023932

x64 = -60.7374579694027

x65 = 16.7551608191456

x66 = -159.174027781883

x67 = -73.3038285837618

График