√2cosx-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: √2cosx-1=0

Вы ввели

  __________        
\/ 2*cos(x)  - 1 = 0

$$\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1 = 0$$
преобразуем
$$\sqrt{2} \sqrt{\cos{\left(x \right)}} - 1 = 0$$
$$\left(\sqrt{2 \cos{\left(x \right)}} - 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Дано уравнение
$$\sqrt{2} \sqrt{w} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 1/2 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень:
Получим:
$$\left(\sqrt{2 w + 0}\right)^{2} = 1^{2}$$
или
$$2 w = 1$$
Разделим обе части ур-ния на 2

w = 1 / (2)

Получим ответ: w = 1/2

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     3 

$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$

     5*pi
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   5*pi
0 + -- + ----
    3     3  

$$\left(0 + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{5 \pi}{3}$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  pi 5*pi
1*--*----
  3   3  

$$\frac{5 \pi}{3} \cdot 1 \frac{\pi}{3}$$

=

    2
5*pi 
-----
  9  

$$\frac{5 \pi^{2}}{9}$$

Численный ответ

x1 = 99.4837673636768

x2 = -99.4837673636768

x3 = 17.8023583703422

x4 = 57.5958653158129

x5 = -32.4631240870945

x6 = 26.1799387799149

x7 = 89.0117918517108

x8 = -7.33038285837618

x9 = 80.634211442138

x10 = -36.6519142918809

x11 = 38.7463093942741

x12 = -76.4454212373516

x13 = -49.2182849062401

x14 = -19.8967534727354

x15 = 5.23598775598299

x16 = -82.7286065445312

x17 = -17.8023583703422

x18 = 30.3687289847013

x19 = -51.3126800086333

x20 = 49.2182849062401

x21 = -38.7463093942741

x22 = -42.9350995990605

x23 = -9275.02871094827

x24 = 82.7286065445312

x25 = -61.7846555205993

x26 = 68.0678408277789

x27 = 7.33038285837618

x28 = -95.2949771588904

x29 = -57.5958653158129

x30 = -93.2005820564972

x31 = 55.5014702134197

x32 = 51.3126800086333

x33 = 42.9350995990605

x34 = 70.162235930172

x35 = 74.3510261349584

x36 = -63.8790506229925

x37 = 32.4631240870945

x38 = -70.162235930172

x39 = 11.5191730631626

x40 = -26.1799387799149

x41 = 95.2949771588904

x42 = 86.9173967493176

x43 = -74.3510261349584

x44 = 1.0471975511966

x45 = 61.7846555205993

x46 = -5.23598775598299

x47 = -55.5014702134197

x48 = -89.0117918517108

x49 = 45.0294947014537

x50 = -13.6135681655558

x51 = 63.8790506229925

x52 = -45.0294947014537

x53 = 19.8967534727354

x54 = -86.9173967493176

x55 = 76.4454212373516

x56 = 93.2005820564972

x57 = -80.634211442138

x58 = 24.0855436775217

x59 = -30.3687289847013

x60 = -68.0678408277789

x61 = -1.0471975511966

x62 = 36.6519142918809

x63 = -24.0855436775217

x64 = -11.5191730631626

x65 = 13.6135681655558

График