2sin^2x-1=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 2sin^2x-1=0

    Решение

    Вы ввели [src]
         2           
    2*sin (x) - 1 = 0
    2sin2(x)1=02 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение
    2sin2(x)1=02 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0
    преобразуем
    cos(2x)=0- \cos{\left(2 x \right)} = 0
    (2sin2(x)1)+0=0\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + 0 = 0
    Сделаем замену
    w=sin(x)w = \sin{\left(x \right)}
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    w1=Db2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    w2=Db2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=2a = 2
    b=0b = 0
    c=1c = -1
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (2) * (-1) = 8

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    w1=22w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
    Упростить
    w2=22w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
    Упростить
    делаем обратную замену
    sin(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
    Дано уравнение
    sin(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    x=2πn+asin(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
    x=2πnasin(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
    Или
    x=2πn+asin(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
    x=2πnasin(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    x1=2πn+asin(w1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}
    x1=2πn+asin(22)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
    x1=2πn+π4x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}
    x2=2πn+asin(w2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}
    x2=2πn+asin(22)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
    x2=2πnπ4x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
    x3=2πnasin(w1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi
    x3=2πnasin(22)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
    x3=2πn+3π4x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}
    x4=2πnasin(w2)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi
    x4=2πnasin(22)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
    x4=2πn+5π4x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
    График
    0-80-60-40-2020406080-1001002-2
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
        pi   pi   3*pi   5*pi
    0 - -- + -- + ---- + ----
        4    4     4      4  
    (((π4+0)+π4)+3π4)+5π4\left(\left(\left(- \frac{\pi}{4} + 0\right) + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{3 \pi}{4}\right) + \frac{5 \pi}{4}
    =
    2*pi
    2π2 \pi
    произведение
      -pi  pi 3*pi 5*pi
    1*----*--*----*----
       4   4   4    4  
    5π43π4π41(π4)\frac{5 \pi}{4} \frac{3 \pi}{4} \frac{\pi}{4} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{4}\right)
    =
          4
    -15*pi 
    -------
      256  
    15π4256- \frac{15 \pi^{4}}{256}
    Быстрый ответ [src]
         -pi 
    x1 = ----
          4  
    x1=π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
         pi
    x2 = --
         4 
    x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
         3*pi
    x3 = ----
          4  
    x3=3π4x_{3} = \frac{3 \pi}{4}
         5*pi
    x4 = ----
          4  
    x4=5π4x_{4} = \frac{5 \pi}{4}
    Численный ответ [src]
    x1 = 384.059701901352
    x2 = 68.329640215578
    x3 = -41.6261026600648
    x4 = 3.92699081698724
    x5 = 16.4933614313464
    x6 = 30.6305283725005
    x7 = 11.7809724509617
    x8 = -40.0553063332699
    x9 = 8.63937979737193
    x10 = 88.7499924639117
    x11 = -35.3429173528852
    x12 = 10.2101761241668
    x13 = 27.4889357189107
    x14 = -5.49778714378214
    x15 = 32.2013246992954
    x16 = -27.4889357189107
    x17 = 24.3473430653209
    x18 = 44.7676953136546
    x19 = -38.484510006475
    x20 = -62.0464549083984
    x21 = -68.329640215578
    x22 = 46.3384916404494
    x23 = 66.7588438887831
    x24 = 19.6349540849362
    x25 = -69.9004365423729
    x26 = -55.7632696012188
    x27 = 84.037603483527
    x28 = 54.1924732744239
    x29 = 90.3207887907066
    x30 = -79.3252145031423
    x31 = 22.776546738526
    x32 = 60.4756585816035
    x33 = -1144.32512407008
    x34 = -24.3473430653209
    x35 = 5.49778714378214
    x36 = -63.6172512351933
    x37 = 47.9092879672443
    x38 = 52.621676947629
    x39 = 98.174770424681
    x40 = -90.3207887907066
    x41 = 87.1791961371168
    x42 = -47.9092879672443
    x43 = 49.4800842940392
    x44 = -91.8915851175014
    x45 = -10.2101761241668
    x46 = -54.1924732744239
    x47 = 2.35619449019234
    x48 = -33.7721210260903
    x49 = -18.0641577581413
    x50 = -60.4756585816035
    x51 = 76.1836218495525
    x52 = 77.7544181763474
    x53 = -99.7455667514759
    x54 = -77.7544181763474
    x55 = 162.577419823272
    x56 = -93.4623814442964
    x57 = -57.3340659280137
    x58 = -85.6083998103219
    x59 = -3.92699081698724
    x60 = -19.6349540849362
    x61 = -16.4933614313464
    x62 = -32.2013246992954
    x63 = 91.8915851175014
    x64 = 69.9004365423729
    x65 = 38.484510006475
    x66 = -82.4668071567321
    x67 = -98.174770424681
    x68 = 41.6261026600648
    x69 = 55.7632696012188
    x70 = -11.7809724509617
    x71 = 62.0464549083984
    x72 = 82.4668071567321
    x73 = -25.9181393921158
    x74 = -71.4712328691678
    x75 = 18.0641577581413
    x76 = 99.7455667514759
    x77 = -2.35619449019234
    x78 = 63.6172512351933
    x79 = -76.1836218495525
    x80 = -46.3384916404494
    x81 = 85.6083998103219
    x82 = 25.9181393921158
    x83 = -84.037603483527
    x84 = 33.7721210260903
    x85 = -49.4800842940392
    x86 = 40.0553063332699
    x87 = 96.6039740978861
    x88 = -13.3517687777566
    x89 = 74.6128255227576
    График
    2sin^2x-1=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/a/26/2e9c9996de922277c9e5e394b297b.png