2x^6=128 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 2x^6=128

    Решение

    Вы ввели [src]
       6      
    2*x  = 128
    2x6=1282 x^{6} = 128
    Подробное решение
    Дано уравнение
    2x6=1282 x^{6} = 128
    Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    26(1x+0)66=1286\sqrt[6]{2} \sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{128}
    26(1x+0)66=1286(1)\sqrt[6]{2} \sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{128} \left(-1\right)
    или
    26x=226\sqrt[6]{2} x = 2 \cdot \sqrt[6]{2}
    26x=226\sqrt[6]{2} x = - 2 \cdot \sqrt[6]{2}
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    x*2^1/6 = 2*2^(1/6)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x*2^1/6 = 2*2^1/6

    Разделим обе части ур-ния на 2^(1/6)
    x = 2*2^(1/6) / (2^(1/6))

    Получим ответ: x = 2
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    x*2^1/6 = -2*2^(1/6)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x*2^1/6 = -2*2^1/6

    Разделим обе части ур-ния на 2^(1/6)
    x = -2*2^(1/6) / (2^(1/6))

    Получим ответ: x = -2
    или
    x1=2x_{1} = -2
    x2=2x_{2} = 2

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z6=64z^{6} = 64
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r6e6ip=64r^{6} e^{6 i p} = 64
    где
    r=2r = 2
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e6ip=1e^{6 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(6p)+cos(6p)=1i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1
    значит
    cos(6p)=1\cos{\left(6 p \right)} = 1
    и
    sin(6p)=0\sin{\left(6 p \right)} = 0
    тогда
    p=πN3p = \frac{\pi N}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=2z_{1} = -2
    z2=2z_{2} = 2
    z3=13iz_{3} = -1 - \sqrt{3} i
    z4=1+3iz_{4} = -1 + \sqrt{3} i
    z5=13iz_{5} = 1 - \sqrt{3} i
    z6=1+3iz_{6} = 1 + \sqrt{3} i
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=2x_{1} = -2
    x2=2x_{2} = 2
    x3=13ix_{3} = -1 - \sqrt{3} i
    x4=1+3ix_{4} = -1 + \sqrt{3} i
    x5=13ix_{5} = 1 - \sqrt{3} i
    x6=1+3ix_{6} = 1 + \sqrt{3} i
    График
    05-15-10-51015010000000
    Быстрый ответ [src]
    x1 = -2
    x1=2x_{1} = -2
    x2 = 2
    x2=2x_{2} = 2
                  ___
    x3 = -1 - I*\/ 3 
    x3=13ix_{3} = -1 - \sqrt{3} i
                  ___
    x4 = -1 + I*\/ 3 
    x4=1+3ix_{4} = -1 + \sqrt{3} i
                 ___
    x5 = 1 - I*\/ 3 
    x5=13ix_{5} = 1 - \sqrt{3} i
                 ___
    x6 = 1 + I*\/ 3 
    x6=1+3ix_{6} = 1 + \sqrt{3} i
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                         ___            ___           ___           ___
    0 - 2 + 2 + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3  + 1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3 
    ((13i)+((((2+0)+2)(1+3i))(13i)))+(1+3i)\left(\left(1 - \sqrt{3} i\right) + \left(\left(\left(\left(-2 + 0\right) + 2\right) - \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(1 - \sqrt{3} i\right)\right)\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right)
    =
    0
    00
    произведение
           /         ___\ /         ___\ /        ___\ /        ___\
    1*-2*2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /*\1 - I*\/ 3 /*\1 + I*\/ 3 /
    1(2)2(13i)(1+3i)(13i)(1+3i)1 \left(-2\right) 2 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right) \left(1 - \sqrt{3} i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)
    =
    -64
    64-64
    Численный ответ [src]
    x1 = 1.0 + 1.73205080756888*i
    x2 = 2.0
    x3 = 1.0 - 1.73205080756888*i
    x4 = -1.0 + 1.73205080756888*i
    x5 = -1.0 - 1.73205080756888*i
    x6 = -2.0
    График
    2x^6=128 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/5/b3/9cd7a6b1508c783e55b79f559ee5d.png