(2ax+b)²=D (уравнение)

Найду корень уравнения: (2ax+b)²=D

Вы ввели

           2    
(2*a*x + b)  = d

$$\left(2 a x + b\right)^{2} = d$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(2 a x + b\right)^{2} = d$$
в
$$- d + \left(2 a x + b\right)^{2} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- d + \left(2 a x + b\right)^{2} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} - d = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4 a^{2}$$
$$b = 4 a b$$
$$c = b^{2} - d$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4*a*b)^2 - 4 * (4*a^2) * (b^2 - d) = -16*a^2*(b^2 - d) + 16*a^2*b^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{- 4 a b + \sqrt{16 a^{2} b^{2} - 16 a^{2} \left(b^{2} - d\right)}}{8 a^{2}}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{- 4 a b - \sqrt{16 a^{2} b^{2} - 16 a^{2} \left(b^{2} - d\right)}}{8 a^{2}}$$
Упростить

Быстрый ответ

            ___
     -b - \/ d 
x1 = ----------
        2*a    

$$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{d}}{2 a}$$

       ___    
     \/ d  - b
x2 = ---------
        2*a   

$$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{d}}{2 a}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           ___     ___    
    -b - \/ d    \/ d  - b
0 + ---------- + ---------
       2*a          2*a   

$$\left(0 + \frac{- b - \sqrt{d}}{2 a}\right) + \frac{- b + \sqrt{d}}{2 a}$$

=

  ___              ___
\/ d  - b   -b - \/ d 
--------- + ----------
   2*a         2*a    

$$\frac{- b - \sqrt{d}}{2 a} + \frac{- b + \sqrt{d}}{2 a}$$

произведение

         ___   ___    
  -b - \/ d  \/ d  - b
1*----------*---------
     2*a        2*a   

$$\frac{- b + \sqrt{d}}{2 a} 1 \frac{- b - \sqrt{d}}{2 a}$$

=

 2    
b  - d
------
    2 
 4*a  

$$\frac{b^{2} - d}{4 a^{2}}$$