2z^3-7z+5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2z^3-7z+5=0

Вы ввели

   3              
2*z  - 7*z + 5 = 0

$$\left(2 z^{3} - 7 z\right) + 5 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(2 z^{3} - 7 z\right) + 5 = 0$$
преобразуем
$$\left(- 7 z + \left(2 z^{3} - 2\right)\right) + 7 = 0$$
или
$$\left(- 7 z + \left(2 z^{3} - 2 \cdot 1^{3}\right)\right) + 7 = 0$$
$$- 7 \left(z - 1\right) + 2 \left(z^{3} - 1^{3}\right) = 0$$
$$- 7 \left(z - 1\right) + 2 \left(z - 1\right) \left(\left(z^{2} + z\right) + 1^{2}\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -1 + z за скобки
получим:
$$\left(z - 1\right) \left(2 \left(\left(z^{2} + z\right) + 1^{2}\right) - 7\right) = 0$$
или
$$\left(z - 1\right) \left(2 z^{2} + 2 z - 5\right) = 0$$
тогда:
$$z_{1} = 1$$
и также
получаем ур-ние
$$2 z^{2} + 2 z - 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 2$$
$$c = -5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (2) * (-5) = 44

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

z2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}$$
Упростить
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для 2*z^3 - 7*z + 5 = 0:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = 1

$$z_{1} = 1$$

             ____
       1   \/ 11 
z2 = - - + ------
       2     2   

$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}$$

             ____
       1   \/ 11 
z3 = - - - ------
       2     2   

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ____           ____
      1   \/ 11      1   \/ 11 
1 + - - + ------ + - - - ------
      2     2        2     2   

$$\left(- \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/        ____\ /        ____\
|  1   \/ 11 | |  1   \/ 11 |
|- - + ------|*|- - - ------|
\  2     2   / \  2     2   /

$$\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}\right)$$

=

-5/2

$$- \frac{5}{2}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$\left(2 z^{3} - 7 z\right) + 5 = 0$$
из
$$a z^{3} + b z^{2} + c z + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$z^{3} + \frac{b z^{2}}{a} + \frac{c z}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$z^{3} - \frac{7 z}{2} + \frac{5}{2} = 0$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{7}{2}$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{5}{2}$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = - \frac{7}{2}$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = \frac{5}{2}$$

Численный ответ

z1 = 1.0

z2 = -2.1583123951777

z3 = 1.1583123951777

График