3x²+2x+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x²+2x+1=0

Вы ввели

   2              
3*x  + 2*x + 1 = 0

$$\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (3) * (1) = -8

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
Упростить

Быстрый ответ

               ___
       1   I*\/ 2 
x1 = - - - -------
       3      3   

$$x_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i}{3}$$

               ___
       1   I*\/ 2 
x2 = - - + -------
       3      3   

$$x_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___             ___
  1   I*\/ 2      1   I*\/ 2 
- - - ------- + - - + -------
  3      3        3      3   

$$\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i}{3}\right) + \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}\right)$$

=

-2/3

$$- \frac{2}{3}$$

произведение

/          ___\ /          ___\
|  1   I*\/ 2 | |  1   I*\/ 2 |
|- - - -------|*|- - + -------|
\  3      3   / \  3      3   /

$$\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2} i}{3}\right) \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}\right)$$

=

1/3

$$\frac{1}{3}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{3}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{1}{3}$$

Численный ответ

x1 = -0.333333333333333 - 0.471404520791032*i

x2 = -0.333333333333333 + 0.471404520791032*i

График