3x²+x+15=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x²+x+15=0

Вы ввели

   2             
3*x  + x + 15 = 0

$$3 x^{2} + x + 15 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 1$$
$$c = 15$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (3) * (15) = -179

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{179} i}{6}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{179} i}{6}$$
Упростить

Быстрый ответ

               _____
       1   I*\/ 179 
x1 = - - - ---------
       6       6    

$$x_{1} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{179} i}{6}$$

               _____
       1   I*\/ 179 
x2 = - - + ---------
       6       6    

$$x_{2} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{179} i}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              _____             _____
      1   I*\/ 179      1   I*\/ 179 
0 + - - - --------- + - - + ---------
      6       6         6       6    

$$\left(0 - \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{179} i}{6}\right)\right) - \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{179} i}{6}\right)$$

=

-1/3

$$- \frac{1}{3}$$

произведение

  /          _____\ /          _____\
  |  1   I*\/ 179 | |  1   I*\/ 179 |
1*|- - - ---------|*|- - + ---------|
  \  6       6    / \  6       6    /

$$1 \left(- \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{179} i}{6}\right) \left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{179} i}{6}\right)$$

=

5

$$5$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$3 x^{2} + x + 15 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + \frac{x}{3} + 5 = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{1}{3}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 5$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} x_{2} = 5$$

Численный ответ

x1 = -0.166666666666667 + 2.22984802670994*i

x2 = -0.166666666666667 - 2.22984802670994*i

График