√(3x-1)-√(x+2)=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: √(3x-1)-√(x+2)=1

Вы ввели

  _________     _______    
\/ 3*x - 1  - \/ x + 2  = 1

$$- \sqrt{x + 2} + \sqrt{3 x - 1} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \sqrt{x + 2} + \sqrt{3 x - 1} = 1$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{x + 2} + \sqrt{3 x - 1}\right)^{2} = 1$$
или
$$1^{2} \cdot \left(3 x - 1\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(1 x + 2\right) \left(3 x - 1\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(1 x + 2\right)\right) = 1$$
или
$$4 x - 2 \sqrt{3 x^{2} + 5 x - 2} + 1 = 1$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{3 x^{2} + 5 x - 2} = - 4 x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$12 x^{2} + 20 x - 8 = 16 x^{2}$$
$$12 x^{2} + 20 x - 8 = 16 x^{2}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 4 x^{2} + 20 x - 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 20$$
$$c = -8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(20)^2 - 4 * (-4) * (-8) = 272

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{3 x^{2} + 5 x - 2} = 2 x$$
и
$$\sqrt{3 x^{2} + 5 x - 2} \geq 0$$
то
$$2 x \geq 0$$
или
$$0 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}$$
проверяем:
$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$- \sqrt{x_{1} + 2} + \sqrt{3 x_{1} - 1} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{\left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right) + 2} + \sqrt{\left(-1\right) 1 + 3 \cdot \left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right)}\right) - 1 = 0$$
=

-1 + sqrt(15/2 - 1 - 3*sqrt(17)/2) - sqrt(9/2 - sqrt(17)/2) = 0

- Нет
$$x_{2} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}$$
$$- \sqrt{x_{2} + 2} + \sqrt{3 x_{2} - 1} - 1 = 0$$
=
$$-1 - \left(- \sqrt{\left(-1\right) 1 + 3 \left(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}\right)} + \sqrt{2 + \left(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}\right)}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}$$

Быстрый ответ

           ____
     5   \/ 17 
x1 = - + ------
     2     2   

$$x_{1} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ____
    5   \/ 17 
0 + - + ------
    2     2   

$$0 + \left(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}\right)$$

=

      ____
5   \/ 17 
- + ------
2     2   

$$\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}$$

произведение

  /      ____\
  |5   \/ 17 |
1*|- + ------|
  \2     2   /

$$1 \left(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}\right)$$

=

      ____
5   \/ 17 
- + ------
2     2   

$$\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{5}{2}$$

Численный ответ

x1 = 4.56155281280883

x2 = 4.56155281280883 + 6.76084332621789e-18*i

x3 = 4.56155281280882 - 1.04418220100558e-14*i

x4 = 4.56155281281268 + 3.62094121972944e-12*i

x5 = 4.56155281280883 - 2.32813795924235e-16*i

x6 = 4.56155281280902 - 1.10748643421464e-13*i

x7 = 4.56155281280883 - 8.56775298753428e-15*i

x8 = 4.56155281280892 - 6.64399482056576e-15*i

x9 = 4.56155281280883 + 1.56993221140211e-19*i

x10 = 4.5615528128133 - 4.70593096211183e-13*i

График