3x^2-x=9 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x^2-x=9

Вы ввели

   2        
3*x  - x = 9

$$3 x^{2} - x = 9$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$3 x^{2} - x = 9$$
в
$$\left(3 x^{2} - x\right) - 9 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = -1$$
$$c = -9$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (3) * (-9) = 109

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{109}}{6}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{109}}{6}$$
Упростить

Быстрый ответ

           _____
     1   \/ 109 
x1 = - - -------
     6      6   

$$x_{1} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{109}}{6}$$

           _____
     1   \/ 109 
x2 = - + -------
     6      6   

$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{109}}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          _____         _____
    1   \/ 109    1   \/ 109 
0 + - - ------- + - + -------
    6      6      6      6   

$$\left(\left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{109}}{6}\right) + 0\right) + \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{109}}{6}\right)$$

=

1/3

$$\frac{1}{3}$$

произведение

  /      _____\ /      _____\
  |1   \/ 109 | |1   \/ 109 |
1*|- - -------|*|- + -------|
  \6      6   / \6      6   /

$$1 \cdot \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{109}}{6}\right) \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{109}}{6}\right)$$

=

-3

$$-3$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$3 x^{2} - x = 9$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - \frac{x}{3} - 3 = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{1}{3}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -3$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} x_{2} = -3$$

Численный ответ

x1 = 1.90671775148509

x2 = -1.57338441815176

График