3x^5 + 96 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x^5 + 96 = 0

Вы ввели

   5         
3*x  + 96 = 0

$$3 x^{5} + 96 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$3 x^{5} + 96 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{-96}$$
или
$$\sqrt[5]{3} x = 2 \sqrt[5]{-3}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*3^1/5 = 2*(-3)^(1/5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*3^1/5 = -2*3^1/5

Разделим обе части ур-ния на 3^(1/5)

x = 2*(-3)^(1/5) / (3^(1/5))

Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

                   /       ___________              ___________\
           ___     |      /       ___              /       ___ |
     1   \/ 5      |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
x2 = - - ----- + I*|-   /   - - -----  - \/ 5 *  /   - - ----- |
     2     2       \  \/    8     8            \/    8     8   /

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + i \left(- \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

           /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                      
           |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                      
           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
           |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ 
     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- + ---------------------- - ----------------------| + 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
     2     \         2                  2                     2                        2           /     \/    8     8    \/    8     8   

$$x_{3} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

           /     ___________        ___________              ___________              ___________\                                      
           |    /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                      
           |   /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
           |  /   - + -----      /   - - -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ 
     1     |\/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x4 = - + I*|---------------- - ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
     2     \       2                  2                     2                        2           /     \/    8     8    \/    8     8   

$$x_{4} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right)$$

                          ___________
           ___           /       ___ 
     1   \/ 5           /  5   \/ 5  
x5 = - + ----- + 2*I*  /   - - ----- 
     2     2         \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Численный ответ

x1 = -0.618033988749895 + 1.90211303259031*i

x2 = 1.61803398874989 - 1.17557050458495*i

x3 = 1.61803398874989 + 1.17557050458495*i

x4 = -0.618033988749895 - 1.90211303259031*i

x5 = -2.0