3a^2+a=7 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3a^2+a=7

Вы ввели

   2        
3*a  + a = 7

$$3 a^{2} + a = 7$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$3 a^{2} + a = 7$$
в
$$\left(3 a^{2} + a\right) - 7 = 0$$
Это уравнение вида

a*a^2 + b*a + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$a_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$a_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 1$$
$$c = -7$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (3) * (-7) = 85

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

a1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

a2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$a_{1} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}$$
Упростить
$$a_{2} = - \frac{\sqrt{85}}{6} - \frac{1}{6}$$
Упростить

Сумма и произведение корней

сумма

            ____           ____
      1   \/ 85      1   \/ 85 
0 + - - + ------ + - - - ------
      6     6        6     6   

$$\left(- \frac{\sqrt{85}}{6} - \frac{1}{6}\right) - \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{85}}{6}\right)$$

=

-1/3

$$- \frac{1}{3}$$

произведение

  /        ____\ /        ____\
  |  1   \/ 85 | |  1   \/ 85 |
1*|- - + ------|*|- - - ------|
  \  6     6   / \  6     6   /

$$1 \left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}\right) \left(- \frac{\sqrt{85}}{6} - \frac{1}{6}\right)$$

=

-7/3

$$- \frac{7}{3}$$

Быстрый ответ

             ____
       1   \/ 85 
a1 = - - + ------
       6     6   

$$a_{1} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{85}}{6}$$

             ____
       1   \/ 85 
a2 = - - - ------
       6     6   

$$a_{2} = - \frac{\sqrt{85}}{6} - \frac{1}{6}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$3 a^{2} + a = 7$$
из
$$a^{3} + a b + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$a^{2} + b + \frac{c}{a} = 0$$
$$a^{2} + \frac{a}{3} - \frac{7}{3} = 0$$
$$a^{2} + a p + q = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{1}{3}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{7}{3}$$
Формулы Виета
$$a_{1} + a_{2} = - p$$
$$a_{1} a_{2} = q$$
$$a_{1} + a_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$a_{1} a_{2} = - \frac{7}{3}$$

Численный ответ

a1 = 1.36992407621548

a2 = -1.70325740954881

График