44x^3+11=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 44x^3+11=0

Вы ввели

    3         
44*x  + 11 = 0

$$44 x^{3} + 11 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$44 x^{3} + 11 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{44} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-11}$$
или
$$\sqrt[3]{44} x = \sqrt[3]{-11}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*44^1/3 = (-11)^(1/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*44^1/3 = -11^1/3

Разделим обе части ур-ния на 44^(1/3)

x = (-11)^(1/3) / (44^(1/3))

Получим ответ: x = (-2)^(1/3)/2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = - \frac{1}{4}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{1}{4}$$
где
$$r = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$

Быстрый ответ

      3 ___ 
     -\/ 2  
x1 = -------
        2   

$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$

     3 ___     3 ___   ___
     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x2 = ----- - -------------
       4           4      

$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$

     3 ___     3 ___   ___
     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x3 = ----- + -------------
       4           4      

$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$

Численный ответ

x1 = 0.314980262473718 - 0.545561817985861*i

x2 = 0.314980262473718 + 0.545561817985861*i

x3 = -0.629960524947437

График