4cos^2x-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4cos^2x-1=0

Вы ввели

     2           
4*cos (x) - 1 = 0

$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
преобразуем
$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (4) * (-1) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   2*pi   4*pi   5*pi
0 + -- + ---- + ---- + ----
    3     3      3      3  

$$\frac{5 \pi}{3} + \left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{2 \pi}{3}\right) + \frac{4 \pi}{3}\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

  pi 2*pi 4*pi 5*pi
1*--*----*----*----
  3   3    3    3  

$$\frac{5 \pi}{3} \frac{4 \pi}{3} \frac{2 \pi}{3} \cdot 1 \frac{\pi}{3}$$

=

     4
40*pi 
------
  81  

$$\frac{40 \pi^{4}}{81}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     3 

$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$

     2*pi
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$

     4*pi
x3 = ----
      3  

$$x_{3} = \frac{4 \pi}{3}$$

     5*pi
x4 = ----
      3  

$$x_{4} = \frac{5 \pi}{3}$$

Численный ответ

x1 = 83.7758040957278

x2 = 8.37758040957278

x3 = 63.8790506229925

x4 = -54.4542726622231

x5 = -79.5870138909414

x6 = -83.7758040957278

x7 = 70.162235930172

x8 = -27.2271363311115

x9 = 98.4365698124802

x10 = 10.471975511966

x11 = -13.6135681655558

x12 = -322.536845768552

x13 = 79.5870138909414

x14 = 85.870199198121

x15 = 38.7463093942741

x16 = 30.3687289847013

x17 = 55.5014702134197

x18 = 46.0766922526503

x19 = -378.038315981972

x20 = -63.8790506229925

x21 = 74.3510261349584

x22 = -17.8023583703422

x23 = -5.23598775598299

x24 = 60.7374579694027

x25 = 1515.29485658148

x26 = 52.3598775598299

x27 = -30.3687289847013

x28 = -68.0678408277789

x29 = -96.342174710087

x30 = 96.342174710087

x31 = 16.7551608191456

x32 = -14.6607657167524

x33 = 24.0855436775217

x34 = 11.5191730631626

x35 = -294.262511886244

x36 = 41.8879020478639

x37 = 82.7286065445312

x38 = -76.4454212373516

x39 = 17.8023583703422

x40 = 68.0678408277789

x41 = -39.7935069454707

x42 = -57.5958653158129

x43 = 90.0589894029074

x44 = -60.7374579694027

x45 = -205.250720034533

x46 = -70.162235930172

x47 = -48.1710873550435

x48 = -49.2182849062401

x49 = 32.4631240870945

x50 = -11.5191730631626

x51 = -61.7846555205993

x52 = 99.4837673636768

x53 = -92.1533845053006

x54 = -2.0943951023932

x55 = -4.18879020478639

x56 = 92.1533845053006

x57 = -35.6047167406843

x58 = 76.4454212373516

x59 = -55.5014702134197

x60 = -71.2094334813686

x61 = -90.0589894029074

x62 = 48.1710873550435

x63 = 4.18879020478639

x64 = 2.0943951023932

x65 = 33.5103216382911

x66 = -98.4365698124802

x67 = -26.1799387799149

x68 = 39.7935069454707

x69 = -46.0766922526503

x70 = -24.0855436775217

x71 = -33.5103216382911

x72 = -41.8879020478639

x73 = 61.7846555205993

x74 = 20.943951023932

x75 = 19.8967534727354

x76 = 77.4926187885482

x77 = -10.471975511966

x78 = -99.4837673636768

x79 = -19.8967534727354

x80 = -77.4926187885482

x81 = -32.4631240870945

x82 = 26.1799387799149

x83 = -93.2005820564972

x84 = -85.870199198121

x85 = 54.4542726622231

График