4cos^2x-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4cos^2x-3=0

Вы ввели

     2           
4*cos (x) - 3 = 0

$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 = 0$$
преобразуем
$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 = 0$$
$$\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 0$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (4) * (-3) = 48

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{6}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     6 

$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$

     5*pi
x2 = ----
      6  

$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$

     7*pi
x3 = ----
      6  

$$x_{3} = \frac{7 \pi}{6}$$

     11*pi
x4 = -----
       6  

$$x_{4} = \frac{11 \pi}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   5*pi   7*pi   11*pi
0 + -- + ---- + ---- + -----
    6     6      6       6  

$$\frac{11 \pi}{6} + \left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{5 \pi}{6}\right) + \frac{7 \pi}{6}\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

  pi 5*pi 7*pi 11*pi
1*--*----*----*-----
  6   6    6     6  

$$\frac{11 \pi}{6} \frac{7 \pi}{6} \frac{5 \pi}{6} \cdot 1 \frac{\pi}{6}$$

=

      4
385*pi 
-------
  1296 

$$\frac{385 \pi^{4}}{1296}$$

Численный ответ

x1 = 131.423292675173

x2 = -87.4409955249159

x3 = 40.317105721069

x4 = -12.0427718387609

x5 = -93.7241808320955

x6 = -75.9218224617533

x7 = 30.8923277602996

x8 = 18.3259571459405

x9 = 0.523598775598299

x10 = 3.66519142918809

x11 = -34.0339204138894

x12 = -31.9395253114962

x13 = -56.025068989018

x14 = -100.007366139275

x15 = 78.0162175641465

x16 = -16.2315620435473

x17 = -82.2050077689329

x18 = 38.2227106186758

x19 = 84.2994028713261

x20 = -18.3259571459405

x21 = 8.90117918517108

x22 = -62.3082542961976

x23 = 91.6297857297023

x24 = 9.94837673636768

x25 = 68.5914396033772

x26 = -84.2994028713261

x27 = 25.6563400043166

x28 = -9.94837673636768

x29 = 47.6474885794452

x30 = -63.3554518473942

x31 = -38.2227106186758

x32 = 71.733032256967

x33 = -25.6563400043166

x34 = -313.635666583381

x35 = 2.61799387799149

x36 = 63.3554518473942

x37 = 12.0427718387609

x38 = -91.6297857297023

x39 = -3.66519142918809

x40 = 49.7418836818384

x41 = 5.75958653158129

x42 = -53.9306738866248

x43 = -68.5914396033772

x44 = 19.3731546971371

x45 = 27.7507351067098

x46 = 74.8746249105567

x47 = -90.5825881785057

x48 = 52.8834763354282

x49 = 100.007366139275

x50 = 60.2138591938044

x51 = 41.3643032722656

x52 = -47.6474885794452

x53 = -27.7507351067098

x54 = 69.6386371545737

x55 = 75.9218224617533

x56 = -85.3466004225227

x57 = 88.4881930761125

x58 = -2.61799387799149

x59 = -2686.58531759487

x60 = -13.0899693899575

x61 = 46.6002910282486

x62 = 31.9395253114962

x63 = -43.4586983746588

x64 = -24.60914245312

x65 = 16.2315620435473

x66 = 97.9129710368819

x67 = -5.75958653158129

x68 = -49.7418836818384

x69 = -81.1578102177363

x70 = -46.6002910282486

x71 = 53.9306738866248

x72 = -60.2138591938044

x73 = -217.293491873294

x74 = -71.733032256967

x75 = 24.60914245312

x76 = -19.3731546971371

x77 = 125.140107367993

x78 = 82.2050077689329

x79 = 66.497044500984

x80 = -65.4498469497874

x81 = 34.0339204138894

x82 = -21.4675497995303

x83 = 44.5058959258554

x84 = -40.317105721069

x85 = -78.0162175641465

x86 = 93.7241808320955

x87 = -35.081117965086

x88 = -69.6386371545737

x89 = -97.9129710368819

x90 = 85.3466004225227

x91 = 62.3082542961976

x92 = 56.025068989018

x93 = 96.8657734856853

x94 = -41.3643032722656

x95 = 22.5147473507269

x96 = 90.5825881785057

График