4sin^2(2x)=3 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4sin^2(2x)=3

Вы ввели

     2         
4*sin (2*x) = 3

$$4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} = 3$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} = 3$$
преобразуем
$$4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 3 = 0$$
$$4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(2 x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 0$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (4) * (-3) = 48

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(2 x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(2 x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      6  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$

     pi
x2 = --
     6 

$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$

     pi
x3 = --
     3 

$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$

     2*pi
x4 = ----
      3  

$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   pi   2*pi
0 - -- + -- + -- + ----
    6    6    3     3  

$$\left(\left(\left(- \frac{\pi}{6} + 0\right) + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{2 \pi}{3}$$

=

pi

$$\pi$$

произведение

  -pi  pi pi 2*pi
1*----*--*--*----
   6   6  3   3  

$$\frac{2 \pi}{3} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{6} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{6}\right)$$

=

   4 
-pi  
-----
 162 

$$- \frac{\pi^{4}}{162}$$

Численный ответ

x1 = 8.37758040957278

x2 = 63.8790506229925

x3 = -79.5870138909414

x4 = -83.7758040957278

x5 = 70.162235930172

x6 = 40.317105721069

x7 = -12.0427718387609

x8 = -93.7241808320955

x9 = -75.9218224617533

x10 = 0.523598775598299

x11 = 18.3259571459405

x12 = -79.0634151153431

x13 = -13.6135681655558

x14 = -34.0339204138894

x15 = -31.9395253114962

x16 = -56.025068989018

x17 = -100.007366139275

x18 = 78.0162175641465

x19 = 85.870199198121

x20 = -16.2315620435473

x21 = -82.2050077689329

x22 = 38.2227106186758

x23 = 30.3687289847013

x24 = 46.0766922526503

x25 = 84.2994028713261

x26 = -63.8790506229925

x27 = 74.3510261349584

x28 = -17.8023583703422

x29 = 52.3598775598299

x30 = 9.94837673636768

x31 = -68.0678408277789

x32 = 96.342174710087

x33 = 24.0855436775217

x34 = 41.8879020478639

x35 = -9.94837673636768

x36 = -38.2227106186758

x37 = 68.0678408277789

x38 = -39.7935069454707

x39 = 71.733032256967

x40 = -25.6563400043166

x41 = 12.0427718387609

x42 = -57.5958653158129

x43 = -3.66519142918809

x44 = 49.7418836818384

x45 = 90.0589894029074

x46 = 5.75958653158129

x47 = -53.9306738866248

x48 = 27.7507351067098

x49 = 100.007366139275

x50 = 60.2138591938044

x51 = -47.6474885794452

x52 = 43.4586983746588

x53 = -27.7507351067098

x54 = -61.7846555205993

x55 = -92.1533845053006

x56 = -2.0943951023932

x57 = 75.9218224617533

x58 = 92.1533845053006

x59 = -35.6047167406843

x60 = 88.4881930761125

x61 = -90.0589894029074

x62 = -42.9350995990605

x63 = 48.1710873550435

x64 = 4.18879020478639

x65 = 2.0943951023932

x66 = 31.9395253114962

x67 = 16.2315620435473

x68 = 97.9129710368819

x69 = -5.75958653158129

x70 = -49.7418836818384

x71 = -46.0766922526503

x72 = -24.0855436775217

x73 = 53.9306738866248

x74 = -41.8879020478639

x75 = -60.2138591938044

x76 = -71.733032256967

x77 = 82.2050077689329

x78 = 66.497044500984

x79 = 19.8967534727354

x80 = 34.0339204138894

x81 = 44.5058959258554

x82 = -78.0162175641465

x83 = 93.7241808320955

x84 = -19.8967534727354

x85 = -69.6386371545737

x86 = -97.9129710368819

x87 = 56.025068989018

x88 = 62.3082542961976

x89 = -64.9262481741891

x90 = 26.1799387799149

x91 = -93.2005820564972

x92 = -85.870199198121

x93 = -86.9173967493176

x94 = 22.5147473507269

График