4x^2-2x+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4x^2-2x+1=0

Вы ввели

   2              
4*x  - 2*x + 1 = 0

$$4 x^{2} - 2 x + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (4) * (1) = -12

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ___
     1   I*\/ 3 
x1 = - - -------
     4      4   

$$x_{1} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
x2 = - + -------
     4      4   

$$x_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___           ___
    1   I*\/ 3    1   I*\/ 3 
0 + - - ------- + - + -------
    4      4      4      4   

$$\left(0 + \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

1/2

$$\frac{1}{2}$$

произведение

  /        ___\ /        ___\
  |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 |
1*|- - -------|*|- + -------|
  \4      4   / \4      4   /

$$1 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

1/4

$$\frac{1}{4}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{1}{2}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{4}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{1}{4}$$

Численный ответ

x1 = 0.25 - 0.433012701892219*i

x2 = 0.25 + 0.433012701892219*i

График