4х²-2х-5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4х²-2х-5=0

Вы ввели

   2              
4*x  - 2*x - 5 = 0

$$4 x^{2} - 2 x - 5 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -2$$
$$c = -5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (4) * (-5) = 84

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{21}}{4}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{21}}{4}$$
Упростить

Быстрый ответ

           ____
     1   \/ 21 
x1 = - - ------
     4     4   

$$x_{1} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{21}}{4}$$

           ____
     1   \/ 21 
x2 = - + ------
     4     4   

$$x_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{21}}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ____         ____
    1   \/ 21    1   \/ 21 
0 + - - ------ + - + ------
    4     4      4     4   

$$\left(\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{21}}{4}\right) + 0\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{21}}{4}\right)$$

=

1/2

$$\frac{1}{2}$$

произведение

  /      ____\ /      ____\
  |1   \/ 21 | |1   \/ 21 |
1*|- - ------|*|- + ------|
  \4     4   / \4     4   /

$$1 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{21}}{4}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{21}}{4}\right)$$

=

-5/4

$$- \frac{5}{4}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{2} - 2 x - 5 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{5}{4} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{1}{2}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{5}{4}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} x_{2} = - \frac{5}{4}$$

Численный ответ

x1 = -0.89564392373896

x2 = 1.39564392373896

График