4х²+5х-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4х²+5х-1=0

Вы ввели

   2              
4*x  + 5*x - 1 = 0

$$4 x^{2} + 5 x - 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 5$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (4) * (-1) = 41

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{41}}{8}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{41}}{8} - \frac{5}{8}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ____
       5   \/ 41 
x1 = - - + ------
       8     8   

$$x_{1} = - \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{41}}{8}$$

             ____
       5   \/ 41 
x2 = - - - ------
       8     8   

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{41}}{8} - \frac{5}{8}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ____           ____
      5   \/ 41      5   \/ 41 
0 + - - + ------ + - - - ------
      8     8        8     8   

$$\left(- \frac{\sqrt{41}}{8} - \frac{5}{8}\right) - \left(\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{41}}{8}\right)$$

=

-5/4

$$- \frac{5}{4}$$

произведение

  /        ____\ /        ____\
  |  5   \/ 41 | |  5   \/ 41 |
1*|- - + ------|*|- - - ------|
  \  8     8   / \  8     8   /

$$1 \left(- \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{41}}{8}\right) \left(- \frac{\sqrt{41}}{8} - \frac{5}{8}\right)$$

=

-1/4

$$- \frac{1}{4}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{2} + 5 x - 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + \frac{5 x}{4} - \frac{1}{4} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{5}{4}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - \frac{1}{4}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{5}{4}$$
$$x_{1} x_{2} = - \frac{1}{4}$$

Численный ответ

x1 = 0.175390529679106

x2 = -1.42539052967911

График