4z^2-4z+5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4z^2-4z+5=0

Вы ввели

   2              
4*z  - 4*z + 5 = 0

$$4 z^{2} - 4 z + 5 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = -4$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (4) * (5) = -64

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{1}{2} + i$$
Упростить
$$z_{2} = \frac{1}{2} - i$$
Упростить

Быстрый ответ

z1 = 1/2 - I

$$z_{1} = \frac{1}{2} - i$$

z2 = 1/2 + I

$$z_{2} = \frac{1}{2} + i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + 1/2 - I + 1/2 + I

$$\left(0 + \left(\frac{1}{2} - i\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + i\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

1*(1/2 - I)*(1/2 + I)

$$1 \cdot \left(\frac{1}{2} - i\right) \left(\frac{1}{2} + i\right)$$

=

5/4

$$\frac{5}{4}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 z^{2} - 4 z + 5 = 0$$
из
$$a z^{2} + b z + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$z^{2} + \frac{b z}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$z^{2} - z + \frac{5}{4} = 0$$
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{5}{4}$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 1$$
$$z_{1} z_{2} = \frac{5}{4}$$

Численный ответ

z1 = 0.5 - 1.0*i

z2 = 0.5 + 1.0*i

График