√5x+1=√(6x-8) (уравнение)

Найду корень уравнения: √5x+1=√(6x-8)

Вы ввели

  _____         _________
\/ 5*x  + 1 = \/ 6*x - 8 

$$\sqrt{5 x} + 1 = \sqrt{6 x - 8}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sqrt{5 x} + 1 = \sqrt{6 x - 8}$$
преобразуем:
$$\sqrt{5} \sqrt{x} - \sqrt{6 x - 8} = -1$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(\sqrt{5} \sqrt{x} - \sqrt{6 x - 8}\right)^{2} = 1$$
или
$$\left(-1\right)^{2} \left(6 x - 8\right) + \left(x \left(\sqrt{5}\right)^{2} + \left(-1\right) 2 \sqrt{5} \sqrt{x \left(6 x - 8\right)}\right) = 1$$
или
$$11 x - 2 \sqrt{5} \sqrt{6 x^{2} - 8 x} - 8 = 1$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{5} \sqrt{6 x^{2} - 8 x} = 9 - 11 x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$120 x^{2} - 160 x = \left(9 - 11 x\right)^{2}$$
$$120 x^{2} - 160 x = 121 x^{2} - 198 x + 81$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + 38 x - 81 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 38$$
$$c = -81$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(38)^2 - 4 * (-1) * (-81) = 1120

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 19 - 2 \sqrt{70}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{70} + 19$$

Т.к.
$$\sqrt{6 x^{2} - 8 x} = \frac{11 \sqrt{5} x}{10} - \frac{9 \sqrt{5}}{10}$$
и
$$\sqrt{6 x^{2} - 8 x} \geq 0$$
то
$$\frac{11 \sqrt{5} x}{10} - \frac{9 \sqrt{5}}{10} \geq 0$$
или
$$\frac{9}{11} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 19 - 2 \sqrt{70}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{70} + 19$$
проверяем:
$$x_{1} = 19 - 2 \sqrt{70}$$
$$\sqrt{5} \sqrt{x_{1}} - \sqrt{6 x_{1} - 8} + 1 = 0$$
=
$$- \sqrt{-8 + 6 \left(19 - 2 \sqrt{70}\right)} + \left(1 + \sqrt{5 \left(19 - 2 \sqrt{70}\right)}\right) = 0$$
=

1 + sqrt(95 - 10*sqrt(70)) - sqrt(106 - 12*sqrt(70)) = 0

- Нет
$$x_{2} = 2 \sqrt{70} + 19$$
$$\sqrt{5} \sqrt{x_{2}} - \sqrt{6 x_{2} - 8} + 1 = 0$$
=
$$- \sqrt{-8 + 6 \left(2 \sqrt{70} + 19\right)} + \left(1 + \sqrt{5 \left(2 \sqrt{70} + 19\right)}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{2} = 2 \sqrt{70} + 19$$

Быстрый ответ

              ____
x1 = 19 + 2*\/ 70 

$$x_{1} = 2 \sqrt{70} + 19$$

Численный ответ

x1 = 35.7332005306815

График