5x+3x^3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5x+3x^3=0

Вы ввели

         3    
5*x + 3*x  = 0

$$3 x^{3} + 5 x = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$3 x^{3} + 5 x = 0$$
преобразуем
Вынесем общий множитель x за скобки
получим:
$$x \left(3 x^{2} + 5\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 0$$
и также
получаем ур-ние
$$3 x^{2} + 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 0$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (3) * (5) = -60

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15} i}{3}$$
Упростить
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{15} i}{3}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (5*x + 3*x^3) + 0 = 0:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15} i}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{15} i}{3}$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

          ____ 
     -I*\/ 15  
x2 = ----------
         3     

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15} i}{3}$$

         ____
     I*\/ 15 
x3 = --------
        3    

$$x_{3} = \frac{\sqrt{15} i}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ____       ____
        I*\/ 15    I*\/ 15 
0 + 0 - -------- + --------
           3          3    

$$\left(\left(0 + 0\right) - \frac{\sqrt{15} i}{3}\right) + \frac{\sqrt{15} i}{3}$$

=

0

$$0$$

произведение

         ____      ____
    -I*\/ 15   I*\/ 15 
1*0*----------*--------
        3         3    

$$1 \cdot 0 \left(- \frac{\sqrt{15} i}{3}\right) \frac{\sqrt{15} i}{3}$$

=

0

$$0$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$3 x^{3} + 5 x = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{5 x}{3} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{5}{3}$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 0$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{5}{3}$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 0$$

Численный ответ

x1 = 1.29099444873581*i

x2 = -1.29099444873581*i

x3 = 0.0

График