81x^4-16=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 81x^4-16=0

Вы ввели

    4         
81*x  - 16 = 0

$$81 x^{4} - 16 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$81 x^{4} - 16 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{81} \sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{16}$$
$$\sqrt[4]{81} \sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{16}$$
или
$$3 x = 2$$
$$3 x = -2$$
Разделим обе части ур-ния на 3

x = 2 / (3)

Получим ответ: x = 2/3
Разделим обе части ур-ния на 3

x = -2 / (3)

Получим ответ: x = -2/3
или
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2}{3}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = \frac{16}{81}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = \frac{16}{81}$$
где
$$r = \frac{2}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$z_{2} = \frac{2}{3}$$
$$z_{3} = - \frac{2 i}{3}$$
$$z_{4} = \frac{2 i}{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{2 i}{3}$$
$$x_{4} = \frac{2 i}{3}$$

Быстрый ответ

x1 = -2/3

$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$

x2 = 2/3

$$x_{2} = \frac{2}{3}$$

     -2*I
x3 = ----
      3  

$$x_{3} = - \frac{2 i}{3}$$

     2*I
x4 = ---
      3 

$$x_{4} = \frac{2 i}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             2*I   2*I
-2/3 + 2/3 - --- + ---
              3     3 

$$\left(\left(- \frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right) - \frac{2 i}{3}\right) + \frac{2 i}{3}$$

=

0

$$0$$

произведение

-2*2 -2*I 2*I
----*----*---
3*3   3    3 

$$\frac{2 i}{3} \cdot - \frac{4}{9} \left(- \frac{2 i}{3}\right)$$

=

-16 
----
 81 

$$- \frac{16}{81}$$

Численный ответ

x1 = 0.666666666666667*i

x2 = 0.666666666666667

x3 = -0.666666666666667*i

x4 = -0.666666666666667

График