8x^3+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 8x^3+1=0

Вы ввели

   3        
8*x  + 1 = 0

$$8 x^{3} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$8 x^{3} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{8} \sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
или
$$2 x = \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

2*x = -1^1/3

Разделим обе части ур-ния на 2

x = (-1)^(1/3) / (2)

Получим ответ: x = (-1)^(1/3)/2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = - \frac{1}{8}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{1}{8}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$z_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

Быстрый ответ

x1 = -1/2

$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
x2 = - - -------
     4      4   

$$x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
x3 = - + -------
     4      4   

$$x_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___           ___
          1   I*\/ 3    1   I*\/ 3 
0 - 1/2 + - - ------- + - + -------
          4      4      4      4   

$$\left(\left(- \frac{1}{2} + 0\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /        ___\ /        ___\
       |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 |
1*-1/2*|- - -------|*|- + -------|
       \4      4   / \4      4   /

$$1 \left(- \frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

-1/8

$$- \frac{1}{8}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$8 x^{3} + 1 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{1}{8} = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{1}{8}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{1}{8}$$

Численный ответ

x1 = 0.25 - 0.433012701892219*i

x2 = 0.25 + 0.433012701892219*i

x3 = -0.5

График