8z^3-i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 8z^3-i=0

Вы ввели

   3        
8*z  - I = 0

$$8 z^{3} - i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$8 z^{3} - i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{8} \sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{i}$$
или
$$2 z = \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

2*z = i^1/3

Разделим обе части ур-ния на 2

z = i^(1/3) / (2)

Получим ответ: z = i^(1/3)/2

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = \frac{i}{8}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{i}{8}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$

Быстрый ответ

     -I 
z1 = ---
      2 

$$z_{1} = - \frac{i}{2}$$

         ___    
       \/ 3    I
z2 = - ----- + -
         4     4

$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$

           ___
     I   \/ 3 
z3 = - + -----
     4     4  

$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___             ___
    I     \/ 3    I   I   \/ 3 
0 - - + - ----- + - + - + -----
    2       4     4   4     4  

$$\left(\left(0 - \frac{i}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      /    ___    \ /      ___\
  -I  |  \/ 3    I| |I   \/ 3 |
1*---*|- ----- + -|*|- + -----|
   2  \    4     4/ \4     4  /

$$1 \left(- \frac{i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}\right)$$

=

I
-
8

$$\frac{i}{8}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$8 z^{3} - i = 0$$
из
$$a z^{3} + b z^{2} + c z + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$z^{3} + \frac{b z^{2}}{a} + \frac{c z}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$z^{3} - \frac{i}{8} = 0$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{i}{8}$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \frac{i}{8}$$

Численный ответ

z1 = -0.433012701892219 + 0.25*i

z2 = 0.433012701892219 + 0.25*i

z3 = -0.5*i