a+1/a=3 (уравнение)

Найду корень уравнения: a+1/a=3

Вы ввели

      1    
a + 1*- = 3
      a    

$$a + 1 \cdot \frac{1}{a} = 3$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$a + 1 \cdot \frac{1}{a} = 3$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и a
получим:
$$a \left(a + 1 \cdot \frac{1}{a}\right) = 3 a$$
$$a^{2} + 1 = 3 a$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$a^{2} + 1 = 3 a$$
в
$$a^{2} - 3 a + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*a^2 + b*a + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$a_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$a_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

a1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

a2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$a_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Упростить
$$a_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

           ___
     3   \/ 5 
a1 = - - -----
     2     2  

$$a_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$

           ___
     3   \/ 5 
a2 = - + -----
     2     2  

$$a_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___         ___
    3   \/ 5    3   \/ 5 
0 + - - ----- + - + -----
    2     2     2     2  

$$\left(0 + \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)$$

=

3

$$3$$

произведение

  /      ___\ /      ___\
  |3   \/ 5 | |3   \/ 5 |
1*|- - -----|*|- + -----|
  \2     2  / \2     2  /

$$1 \cdot \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Численный ответ

a1 = 0.381966011250105

a2 = 2.61803398874989

График