a^3-27 (уравнение)

Найду корень уравнения: a^3-27

Вы ввели

 3         
a  - 27 = 0

$$a^{3} - 27 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$a^{3} - 27 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{a^{3}} = \sqrt[3]{27}$$
или
$$a = 3$$
Получим ответ: a = 3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = a$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = a$$
$$a = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$a_{1} = 3$$
$$a_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$a_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

a1 = 3

$$a_{1} = 3$$

                 ___
       3   3*I*\/ 3 
a2 = - - - ---------
       2       2    

$$a_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

                 ___
       3   3*I*\/ 3 
a3 = - - + ---------
       2       2    

$$a_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                ___               ___
      3   3*I*\/ 3      3   3*I*\/ 3 
3 + - - - --------- + - - + ---------
      2       2         2       2    

$$\left(3 + \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /            ___\ /            ___\
  |  3   3*I*\/ 3 | |  3   3*I*\/ 3 |
3*|- - - ---------|*|- - + ---------|
  \  2       2    / \  2       2    /

$$3 \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

27

$$27$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$a^{3} + a^{2} p + a q + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -27$$
Формулы Виета
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} = - p$$
$$a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = q$$
$$a_{1} a_{2} a_{3} = v$$
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0$$
$$a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = 0$$
$$a_{1} a_{2} a_{3} = -27$$

Численный ответ

a1 = 3.0

a2 = -1.5 + 2.59807621135332*i

a3 = -1.5 - 2.59807621135332*i

График