ax²+bx+c=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: ax²+bx+c=0

Вы ввели

   2              
a*x  + b*x + c = 0

$$a x^{2} + b x + c = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = a$$
$$b = b$$
$$c = c$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(b)^2 - 4 * (a) * (c) = b^2 - 4*a*c

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ____________
            /  2         
     -b - \/  b  - 4*a*c 
x1 = --------------------
             2*a         

$$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$

        ____________    
       /  2             
     \/  b  - 4*a*c  - b
x2 = -------------------
             2*a        

$$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ____________      ____________    
           /  2              /  2             
    -b - \/  b  - 4*a*c    \/  b  - 4*a*c  - b
0 + -------------------- + -------------------
            2*a                    2*a        

$$\left(0 + \frac{- b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}\right) + \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$

=

   ____________               ____________
  /  2                       /  2         
\/  b  - 4*a*c  - b   -b - \/  b  - 4*a*c 
------------------- + --------------------
        2*a                   2*a         

$$\frac{- b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a} + \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$

произведение

          ____________    ____________    
         /  2            /  2             
  -b - \/  b  - 4*a*c  \/  b  - 4*a*c  - b
1*--------------------*-------------------
          2*a                  2*a        

$$\frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a} 1 \frac{- b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}$$

=

c
-
a

$$\frac{c}{a}$$

Решение параметрического уравнения

Дано уравнение с параметром:
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
Коэффициент при x равен
$$a$$
тогда возможные случаи для a :
$$a < 0$$
$$a = 0$$
Рассмотри все случаи подробнее:
При
$$a < 0$$
уравнение будет
$$b x + c - x^{2} = 0$$
его решение
$$x = \frac{b}{2} - \frac{\sqrt{b^{2} + 4 c}}{2}$$
$$x = \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{b^{2} + 4 c}}{2}$$
При
$$a = 0$$
уравнение будет
$$b x + c = 0$$
его решение
$$x = - \frac{c}{b}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$\frac{a x^{2} + b x + c}{a} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{b}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$$