ax^2+c=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: ax^2+c=0

Вы ввели

   2        
a*x  + c = 0

$$a x^{2} + c = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.

True

$$b = 0$$

True

, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (a) * (c) = -4*a*c

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- a c}}{a}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- a c}}{a}$$
Упростить

Быстрый ответ

                                /     /   /c\     /c\\\                              /     /   /c\     /c\\\
           _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||         _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||
          /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|        /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|
x1 = - 4 /  im |-| + re |-| *cos|---------------------| - I*4 /  im |-| + re |-| *sin|---------------------|
       \/      \a/      \a/     \          2          /     \/      \a/      \a/     \          2          /

$$x_{1} = - i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)}$$

                              /     /   /c\     /c\\\                              /     /   /c\     /c\\\
         _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||         _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||
        /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|        /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|
x2 = 4 /  im |-| + re |-| *cos|---------------------| + I*4 /  im |-| + re |-| *sin|---------------------|
     \/      \a/      \a/     \          2          /     \/      \a/      \a/     \          2          /

$$x_{2} = i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                           /     /   /c\     /c\\\                              /     /   /c\     /c\\\                            /     /   /c\     /c\\\                              /     /   /c\     /c\\\
      _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||         _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||       _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||         _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||
     /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|        /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|      /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|        /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|
- 4 /  im |-| + re |-| *cos|---------------------| - I*4 /  im |-| + re |-| *sin|---------------------| + 4 /  im |-| + re |-| *cos|---------------------| + I*4 /  im |-| + re |-| *sin|---------------------|
  \/      \a/      \a/     \          2          /     \/      \a/      \a/     \          2          /   \/      \a/      \a/     \          2          /     \/      \a/      \a/     \          2          /

$$\left(- i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/                           /     /   /c\     /c\\\                              /     /   /c\     /c\\\\ /                         /     /   /c\     /c\\\                              /     /   /c\     /c\\\\
|      _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||         _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||| |    _________________    |atan2|-im|-|, -re|-|||         _________________    |atan2|-im|-|, -re|-||||
|     /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|        /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|| |   /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//|        /   2/c\     2/c\     |     \   \a/     \a//||
|- 4 /  im |-| + re |-| *cos|---------------------| - I*4 /  im |-| + re |-| *sin|---------------------||*|4 /  im |-| + re |-| *cos|---------------------| + I*4 /  im |-| + re |-| *sin|---------------------||
\  \/      \a/      \a/     \          2          /     \/      \a/      \a/     \          2          // \\/      \a/      \a/     \          2          /     \/      \a/      \a/     \          2          //

$$\left(- i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)}\right) \left(i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

                               /   /c\     /c\\
     _________________  I*atan2|-im|-|, -re|-||
    /   2/c\     2/c\          \   \a/     \a//
-  /  im |-| + re |-| *e                       
 \/      \a/      \a/                          

$$- \sqrt{\left(\operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)}\right)^{2}} e^{i \operatorname{atan_{2}}{\left(- \operatorname{im}{\left(\frac{c}{a}\right)},- \operatorname{re}{\left(\frac{c}{a}\right)} \right)}}$$

Решение параметрического уравнения

Дано уравнение с параметром:
$$a x^{2} + c = 0$$
Коэффициент при x равен
$$a$$
тогда возможные случаи для a :
$$a < 0$$
$$a = 0$$
Рассмотри все случаи подробнее:
При
$$a < 0$$
уравнение будет
$$c - x^{2} = 0$$
его решение
$$x = - \sqrt{c}$$
$$x = \sqrt{c}$$
При
$$a = 0$$
уравнение будет
$$c = 0$$
его решение

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$a x^{2} + c = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$\frac{a x^{2} + c}{a} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 0$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$$