ах^2+2х+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: ах^2+2х+1=0

Вы ввели

   2              
a*x  + 2*x + 1 = 0

$$a x^{2} + 2 x + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = a$$
$$b = 2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (a) * (1) = 4 - 4*a

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{4 - 4 a} - 2}{2 a}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{4 - 4 a} - 2}{2 a}$$
Упростить

Быстрый ответ

            _______
     -1 - \/ 1 - a 
x1 = --------------
           a       

$$x_{1} = \frac{- \sqrt{1 - a} - 1}{a}$$

            _______
     -1 + \/ 1 - a 
x2 = --------------
           a       

$$x_{2} = \frac{\sqrt{1 - a} - 1}{a}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           _______          _______
    -1 - \/ 1 - a    -1 + \/ 1 - a 
0 + -------------- + --------------
          a                a       

$$\left(0 + \frac{- \sqrt{1 - a} - 1}{a}\right) + \frac{\sqrt{1 - a} - 1}{a}$$

=

       _______          _______
-1 + \/ 1 - a    -1 - \/ 1 - a 
-------------- + --------------
      a                a       

$$\frac{- \sqrt{1 - a} - 1}{a} + \frac{\sqrt{1 - a} - 1}{a}$$

произведение

         _______        _______
  -1 - \/ 1 - a  -1 + \/ 1 - a 
1*--------------*--------------
        a              a       

$$1 \frac{- \sqrt{1 - a} - 1}{a} \frac{\sqrt{1 - a} - 1}{a}$$

=

1
-
a

$$\frac{1}{a}$$

Решение параметрического уравнения

Дано уравнение с параметром:
$$a x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
Коэффициент при x равен
$$a$$
тогда возможные случаи для a :
$$a < 0$$
$$a = 0$$
Рассмотри все случаи подробнее:
При
$$a < 0$$
уравнение будет
$$- x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
его решение
$$x = 1 - \sqrt{2}$$
$$x = 1 + \sqrt{2}$$
При
$$a = 0$$
уравнение будет
$$2 x + 1 = 0$$
его решение
$$x = - \frac{1}{2}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$a x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$\frac{a x^{2} + 2 x + 1}{a} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{2}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{a}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{2}{a}$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{1}{a}$$