(4cosx)-(sin^2x)-4=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (4cosx)-(sin^2x)-4=0

Вы ввели

              2           
4*cos(x) - sin (x) - 4 = 0

$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} - 4 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} - 4 = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} - 5 = 0$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} - 4 - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = -5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -5$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-5 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-5 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-5 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-5 \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

         /     /  ___\\         /     /  ___\\
         |     |\/ 6 ||         |     |\/ 6 ||
x2 = 2*im|atanh|-----|| - 2*I*re|atanh|-----||
         \     \  2  //         \     \  2  //

$$x_{2} = 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}$$

           /     /  ___\\         /     /  ___\\
           |     |\/ 6 ||         |     |\/ 6 ||
x3 = - 2*im|atanh|-----|| + 2*I*re|atanh|-----||
           \     \  2  //         \     \  2  //

$$x_{3} = - 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            /     /  ___\\         /     /  ___\\         /     /  ___\\         /     /  ___\\
            |     |\/ 6 ||         |     |\/ 6 ||         |     |\/ 6 ||         |     |\/ 6 ||
0 + 0 + 2*im|atanh|-----|| - 2*I*re|atanh|-----|| + - 2*im|atanh|-----|| + 2*I*re|atanh|-----||
            \     \  2  //         \     \  2  //         \     \  2  //         \     \  2  //

$$\left(\left(0 + 0\right) + \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right)\right) - \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /    /     /  ___\\         /     /  ___\\\ /      /     /  ___\\         /     /  ___\\\
    |    |     |\/ 6 ||         |     |\/ 6 ||| |      |     |\/ 6 ||         |     |\/ 6 |||
1*0*|2*im|atanh|-----|| - 2*I*re|atanh|-----|||*|- 2*im|atanh|-----|| + 2*I*re|atanh|-----|||
    \    \     \  2  //         \     \  2  /// \      \     \  2  //         \     \  2  ///

$$1 \cdot 0 \cdot \left(2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \operatorname{im}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{re}{\left(\operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = -69.1150379969225

x2 = -50.2654827516428

x3 = 31.4159261609886

x4 = 43.9822971694522

x5 = 87.9645943358564

x6 = 50.2654824463419

x7 = 50.2654824831612

x8 = 62.8318527993111

x9 = 25.1327408768009

x10 = 3.6542214453576e-9

x11 = 6.2831852842226

x12 = 12.5663709347131

x13 = -25.1327408470065

x14 = -6.28318561085183

x15 = 697.433569577321

x16 = -62.8318527166215

x17 = 18.849555643152

x18 = 100.530964762008

x19 = -75.3982233514527

x20 = 12.5663704456227

x21 = 37.6991120272784

x22 = -87.9645942211314

x23 = 0.0

x24 = -12.5663709884597

x25 = 6.28318536397799

x26 = -69.1150387794245

x27 = -12.566370328105

x28 = -69.1150386687467

x29 = 81.6814086730756

x30 = -25.1327415128681

x31 = -18.8495555631251

x32 = -6.28318513091445

x33 = -18.8495554932831

x34 = -62.8318524720618

x35 = 56.5486680767914

x36 = -75.3982238702881

x37 = -81.6814088816483

x38 = -100.530964640429

x39 = 75.3982233107482

x40 = -94.2477798915732

x41 = -18.8495562765773

x42 = -31.4159262080502

x43 = 62.8318534519676

x44 = -87.9645943586678

x45 = 56.5486676037551

x46 = -94.2477794477884

x47 = -37.699111757691

x48 = 94.2477796093524

x49 = -56.5486674841957

x50 = -43.9822971102957

x51 = 25.1327415901841

x52 = -50.2654822892671

x53 = 94.2477795996487

x54 = 69.1150387433025

x55 = 87.9645942399983

x56 = 69.1150380303718

x57 = 31.4159268278413

x58 = -62.8318534297581

x59 = -43.9822971745523

x60 = -31.4159267123914

x61 = -37.6991118772263

x62 = 37.6991115307392

x63 = -81.6814090381547

x64 = -56.5486681375837

x65 = 69.1150384791184

x66 = 75.3982239836414

x67 = 43.9822971204917

x68 = 25.1327411190543

x69 = 81.6814091853186

x70 = 18.849556302627

График