Решите уравнение 4*x^5=16 (4 умножить на х в степени 5 равно 16) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ответ!]

4*x^5=16 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 4*x^5=16

    Решение

    Вы ввели [src]
       5     
    4*x  = 16
    $$4 x^{5} = 16$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$4 x^{5} = 16$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{16}$$
    или
    $$2^{\frac{2}{5}} x = 2^{\frac{4}{5}}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    x*2^2/5 = 2^(4/5)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x*2^2/5 = 2^4/5

    Разделим обе части ур-ния на 2^(2/5)
    x = 2^(4/5) / (2^(2/5))

    Получим ответ: x = 2^(2/5)

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{5} = 4$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{5} e^{5 i p} = 4$$
    где
    $$r = 2^{\frac{2}{5}}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{5 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = 2^{\frac{2}{5}}$$
    $$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    $$z_{5} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = 2^{\frac{2}{5}}$$
    $$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    $$x_{5} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
          2/5
    x1 = 2   
    $$x_{1} = 2^{\frac{2}{5}}$$
                                           ___________
            2/5    2/5   ___              /       ___ 
           2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  
    x2 = - ---- + ---------- - I*2   *  /   - + ----- 
            4         4               \/    8     8   
    $$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
                                           ___________
            2/5    2/5   ___              /       ___ 
           2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  
    x3 = - ---- + ---------- + I*2   *  /   - + ----- 
            4         4               \/    8     8   
    $$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
                                           ___________
            2/5    2/5   ___              /       ___ 
           2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  
    x4 = - ---- - ---------- - I*2   *  /   - - ----- 
            4         4               \/    8     8   
    $$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
                                           ___________
            2/5    2/5   ___              /       ___ 
           2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  
    x5 = - ---- - ---------- + I*2   *  /   - - ----- 
            4         4               \/    8     8   
    $$x_{5} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                                             ___________                                     ___________                                     ___________                                     ___________
              2/5    2/5   ___              /       ___       2/5    2/5   ___              /       ___       2/5    2/5   ___              /       ___       2/5    2/5   ___              /       ___ 
     2/5     2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5       2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5       2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5       2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  
    2    + - ---- + ---------- - I*2   *  /   - + -----  + - ---- + ---------- + I*2   *  /   - + -----  + - ---- - ---------- - I*2   *  /   - - -----  + - ---- - ---------- + I*2   *  /   - - ----- 
              4         4               \/    8     8         4         4               \/    8     8         4         4               \/    8     8         4         4               \/    8     8   
    $$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(2^{\frac{2}{5}} + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
         /                                  ___________\ /                                  ___________\ /                                  ___________\ /                                  ___________\
         |   2/5    2/5   ___              /       ___ | |   2/5    2/5   ___              /       ___ | |   2/5    2/5   ___              /       ___ | |   2/5    2/5   ___              /       ___ |
     2/5 |  2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  | |  2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  | |  2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  | |  2      2   *\/ 5       2/5    /  5   \/ 5  |
    2   *|- ---- + ---------- - I*2   *  /   - + ----- |*|- ---- + ---------- + I*2   *  /   - + ----- |*|- ---- - ---------- - I*2   *  /   - - ----- |*|- ---- - ---------- + I*2   *  /   - - ----- |
         \   4         4               \/    8     8   / \   4         4               \/    8     8   / \   4         4               \/    8     8   / \   4         4               \/    8     8   /
    $$2^{\frac{2}{5}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$
    =
    4
    $$4$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 0.407750368641006 + 1.25492659684357*i
    x2 = -1.06750432402745 + 0.77558729023556*i
    x3 = 0.407750368641006 - 1.25492659684357*i
    x4 = -1.06750432402745 - 0.77558729023556*i
    x5 = 1.31950791077289
    График
    4*x^5=16 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/3/dc/fac3483e324756c62faad2899f405.png