4^cos(x)=2 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^cos(x)=2

Вы ввели

 cos(x)    
4       = 2

$$4^{\cos{\left(x \right)}} = 2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4^{\cos{\left(x \right)}} = 2$$
преобразуем
$$4^{\cos{\left(x \right)}} - 2 = 0$$
$$4^{\cos{\left(x \right)}} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
$$4^{w} - 2 = 0$$
или
$$4^{w} - 2 = 0$$
или
$$4^{w} = 2$$
или
$$4^{w} = 2$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{w}$$
получим
$$v - 2 = 0$$
или
$$v - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 2$$
Получим ответ: v = 2
делаем обратную замену
$$4^{w} = v$$
или
$$w = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     3 

$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$

     5*pi
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$

         /    /1    pi*I \\              /    /1    pi*I \\
x3 = - re|acos|- + ------|| + 2*pi - I*im|acos|- + ------||
         \    \2   log(2)//              \    \2   log(2)//

$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}$$

         /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\
x4 = I*im|acos|- + ------|| + re|acos|- + ------||
         \    \2   log(2)//     \    \2   log(2)//

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   5*pi       /    /1    pi*I \\              /    /1    pi*I \\       /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\
0 + -- + ---- + - re|acos|- + ------|| + 2*pi - I*im|acos|- + ------|| + I*im|acos|- + ------|| + re|acos|- + ------||
    3     3         \    \2   log(2)//              \    \2   log(2)//       \    \2   log(2)//     \    \2   log(2)//

$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right) - \left(- 4 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

  pi 5*pi /    /    /1    pi*I \\              /    /1    pi*I \\\ /    /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\\
1*--*----*|- re|acos|- + ------|| + 2*pi - I*im|acos|- + ------|||*|I*im|acos|- + ------|| + re|acos|- + ------|||
  3   3   \    \    \2   log(2)//              \    \2   log(2)/// \    \    \2   log(2)//     \    \2   log(2)///

$$\frac{5 \pi}{3} \cdot 1 \frac{\pi}{3} \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right)$$

=

     2 /    /    /2*pi*I + log(2)\\     /    /2*pi*I + log(2)\\\ /            /    /2*pi*I + log(2)\\     /    /2*pi*I + log(2)\\\
-5*pi *|I*im|acos|---------------|| + re|acos|---------------|||*|-2*pi + I*im|acos|---------------|| + re|acos|---------------|||
       \    \    \    2*log(2)   //     \    \    2*log(2)   /// \            \    \    2*log(2)   //     \    \    2*log(2)   ///
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                9                                                                 

$$- \frac{5 \pi^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right)}\right)}{9}$$

Численный ответ

x1 = 5.23598775598299

x2 = -42.9350995990605

x3 = 55.5014702134197

x4 = -99.4837673636768

x5 = -76.4454212373516

x6 = -45.0294947014537

x7 = -13.6135681655558

x8 = -19.8967534727354

x9 = 63.8790506229925

x10 = -82.7286065445312

x11 = -1.0471975511966

x12 = 51.3126800086333

x13 = -51.3126800086333

x14 = 19.8967534727354

x15 = 57.5958653158129

x16 = -86.9173967493176

x17 = -32.4631240870945

x18 = 74.3510261349584

x19 = -17.8023583703422

x20 = 93.2005820564972

x21 = -101.57816246607

x22 = 32.4631240870945

x23 = 30.3687289847013

x24 = 17.8023583703422

x25 = -70.162235930172

x26 = -49.2182849062401

x27 = 49.2182849062401

x28 = -38.7463093942741

x29 = 7.33038285837618

x30 = -30.3687289847013

x31 = 26.1799387799149

x32 = 76.4454212373516

x33 = 86.9173967493176

x34 = -63.8790506229925

x35 = 36.6519142918809

x36 = 82.7286065445312

x37 = -80.634211442138

x38 = 70.162235930172

x39 = 132.994089001968

x40 = 24.0855436775217

x41 = -95.2949771588904

x42 = -74.3510261349584

x43 = -68.0678408277789

x44 = 1.0471975511966

x45 = -7.33038285837618

x46 = 13.6135681655558

x47 = 89.0117918517108

x48 = 80.634211442138

x49 = 45.0294947014537

x50 = 61.7846555205993

x51 = -24.0855436775217

x52 = -36.6519142918809

x53 = -93.2005820564972

x54 = 42.9350995990605

x55 = -11.5191730631626

x56 = 68.0678408277789

x57 = 38.7463093942741

x58 = 11.5191730631626

x59 = -61.7846555205993

x60 = -55.5014702134197

x61 = 99.4837673636768

x62 = 271.224165759919

x63 = -26.1799387799149

x64 = -114.144533080429

x65 = -5.23598775598299

x66 = -89.0117918517108

x67 = -57.5958653158129

x68 = 95.2949771588904

x69 = -143.466064513934

График