4^х-2^(х+3)+15=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^х-2^(х+3)+15=0

Вы ввели

 x    x + 3         
4  - 2      + 15 = 0

$$- 2^{x + 3} + 4^{x} + 15 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 2^{x + 3} + 4^{x} + 15 = 0$$
или
$$\left(- 2^{x + 3} + 4^{x} + 15\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} - 8 v + 15 = 0$$
или
$$v^{2} - 8 v + 15 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -8$$
$$c = 15$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (1) * (15) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 5$$
Упростить
$$v_{2} = 3$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    log(3)   log(5)
0 + ------ + ------
    log(2)   log(2)

$$\left(0 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) + \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

=

log(3)   log(5)
------ + ------
log(2)   log(2)

$$\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  log(3) log(5)
1*------*------
  log(2) log(2)

$$1 \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

=

log(3)*log(5)
-------------
      2      
   log (2)   

$$\frac{\log{\left(3 \right)} \log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$

Быстрый ответ

     log(3)
x1 = ------
     log(2)

$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

     log(5)
x2 = ------
     log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = 2.32192809488736

x2 = 1.58496250072116

График