4^x-22*2^x+40=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^x-22*2^x+40=0

Вы ввели

 x       x         
4  - 22*2  + 40 = 0

$$- 22 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 40 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 22 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 40 = 0$$
или
$$\left(- 22 \cdot 2^{x} + 4^{x} + 40\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} - 22 v + 40 = 0$$
или
$$v^{2} - 22 v + 40 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -22$$
$$c = 40$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-22)^2 - 4 * (1) * (40) = 324

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 20$$
Упростить
$$v_{2} = 2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(20 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 2 + \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

     log(20)
x2 = -------
      log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(20 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        log(20)
0 + 1 + -------
         log(2)

$$\left(0 + 1\right) + \frac{\log{\left(20 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

=

    log(20)
1 + -------
     log(2)

$$1 + \frac{\log{\left(20 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

    log(20)
1*1*-------
     log(2)

$$1 \cdot 1 \frac{\log{\left(20 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

=

    log(5)
2 + ------
    log(2)

$$2 + \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = 1.0

x2 = 4.32192809488736

График