4^x-3*2^x=40 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^x-3*2^x=40

Вы ввели

 x      x     
4  - 3*2  = 40

$$- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x} = 40$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x} = 40$$
или
$$\left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) - 40 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} - 3 v - 40 = 0$$
или
$$v^{2} - 3 v - 40 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -40$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-40) = 169

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 8$$
Упростить
$$v_{2} = -5$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 3$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(5 \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

x1 = 3

$$x_{1} = 3$$

     log(5)    pi*I 
x2 = ------ + ------
     log(2)   log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        log(5)    pi*I 
0 + 3 + ------ + ------
        log(2)   log(2)

$$\left(0 + 3\right) + \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

    log(5)    pi*I 
3 + ------ + ------
    log(2)   log(2)

$$\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 3 + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

    /log(5)    pi*I \
1*3*|------ + ------|
    \log(2)   log(2)/

$$1 \cdot 3 \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

3*(pi*I + log(5))
-----------------
      log(2)     

$$\frac{3 \left(\log{\left(5 \right)} + i \pi\right)}{\log{\left(2 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = 3.0

x2 = 2.32192809488736 + 4.53236014182719*i

График